Calculer l'aire d'un disque

Bonjour à tous.
Comment calculer l’aire d’un disque ?
On peut considérer un disque comme engendré par certaines lignes (segments, cercles) situées à l’intérieur du disque, et postuler (méthode de Cavalieri) que l’aire du disque est la somme des longueurs de toutes ces lignes.
J’entrevois ainsi 3 méthodes :

$fichier math$
Le disque (entouré par le cercle noir) est engendré par les cercles concentriques bleus partant du centre et grossissant continuellement jusqu’au cercle noir.

$fichier math$
Le disque est engendré par les segments bleus partant d’un point du cercle noir, limités au cercle noir, et se déplaçant perpendiculairement à un diamètre de ce cercle.

$fichier math$
Le disque est engendré par les rayons bleus effectuant un tour complet autour du centre.

Deux de ces méthodes sont correctes et une est fausse. Laquelle et pourquoi ? Naturellement je ne saurais me contenter d’une réponse du genre « telle méthode est fausse car elle ne donne pas le résultat escompté » : je souhaiterais des explications plus profondes.

Personne ?

Salut,

Je pense que c'est la 3e qui est fausse car elle ne donne pas le résultat escompté ^^

En fait c'est une pure conjecture. Je pense que les rayons peuvent oublier des points dans la zone externe du disque

Bonjour Thierry,

Pourtant, lors du "balayage" de la surface par un rayon tournant, aucun point du disque n'est oublié.

Si tu découpes le disque en tout petits carrés - d'1mm² par exemple, un déplacement du rayon d'une fraction de degré peut atteindre 2 fois le même carré près du centre alors qu'il peut laisser passer des petits carrés proches de la périphérie.

Je ne sais pas comment formaliser cette intuition

Pas si la "fraction de degré" est suffisamment petite : tous les petits carrés seront atteints.
Mais il est exact que les carrés près du centre "compteront" davantage que ceux proches de la périphérie.
En fait, cela semble lié au "mauvais choix" des indivisibles dans ce cas.

Arrêtez moi si je dis une bêtise parce que cela parait trop gros, mais en utilisant la méthode 3) il y a une redondance lorsque l'on somme les "petits cercles" non ? Il y a une dimension en trop dans la somme. Du coup on prend (r - dx) fois en compte le cercle de rayon dx, au lieu de le prendre en compte une seule fois ?

Je comprends pas bien les "petits cercles".
On somme des longueurs de segments (ici des rayons), ce qui donne 2πR, qui est évidemment faux.
Les méthodes 1 et 2 utilisent des intégrales simples, alors que pour la 3, il faudrait (contrairement à ce qui est fait), calculer une intégrale double, dont l'élément différentiel est r.dr.dθ.
Mais ce n'est pas ce qui est demandé : pourquoi cela ne marche-t-il pas ?
Sans doute à cause des "indivisibles" qui ici (méthode 3) ne sont pas vraiment "juxtaposés".