La différence de 2 cubes ne peut être un cube: pourquoi?

Bonjour,

Cela fait un peu de temps que je me penche sur l'idée que la différence de deux cubes pourrait être un cube (dans l’ensemble $mathbb{Q}$ des nombres rationnels).

Je pars de la différence des arêtes des cubes
$a - b = x$

alors:
$(a−b)3=x3\left(a-b \right)^{3}=x^{3}$
$a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=x^{3}$
$a3−b3−3ab(a−b)=x3a^{3}-b^{3}-3ab\left(a-b \right)=x^{3}$
$a3−b3−3ab(x)=x3a^{3}-b^{3}-3ab\left(x \right)=x^{3}$
$a^{3}-b^{3}=x^{3}+3abx$

En programmant en Python je ne trouve aucun résultat (a et b variant de 1 à 150000)

J'en conclus (provisoirement et trop rapidement sans doute ) qu'il n'y a pas de cube qui soit la différence de deux cubes.
Pourquoi?

Comment le démontrer?
(soit démontrer que $x^{3}+3abx$ ne peut être un cube?)

Auriez-vous une idée ?

A+-*/

Bonjour,
Le problème n’admet pas de solution ( autre que triviale ) dans Z, donc pas non plus dans Q ( il en admet évidemment dans R ).
Il s’agit d’un cas particulier du grand théorème de Fermat, établi par A.Wiles.
La démonstration est plus que compliquée et accessible uniquement aux spécialistes.
Toutefois, dans le cas particulier du cube, il existe des démonstrations « élémentaires » ( !!!).
Tu peux regarder ici.
Bon courage.

re,

juste pour le fun,

Voilà comment je voyais la suite:

Pour que $x^{3}+3abx$ soit un cube,
il faut que $3abx=2(x+2)2+4x(x+1)3abx=2\left(x+2 \right)^{2}+4x\left(x+1 \right)$

et je m'imaginais que peut-être (dans $mathbb{Q}$ ) une solution adviendrait.

J'ai un peu cherché et...

Bon tant pis.

Grand merci.

A+-*/

Bonjour,

C'est que j'y pense encore...
Avec mes +-*/ j'essaie d'avancer dans le cul-de-sac.
Mais, seul, j'ai peur de me fourvoyer ; je souhaite avancer en compagnie...

J'énonçais:
Citation
Pour que $x^{3}+3abx$ soit un cube,
il faut que $3abx=2(x+2)2+4x(x+1)3abx=2\left(x+2 \right)^{2}+4x\left(x+1 \right)$

Je propose plus simple:

Citation
Pour que $x^{3}+3abx$ soit un cube,
il faut que $3abx=3x^{2}+3x+1$

formule obtenue par simple ajout de couches au cube d'arête x pour obtenir le cube juste supérieur.
S'il y a impossibilité elle doit se trouver là aussi.

Partons donc de cette égalité et tâchons de trouver l'impasse.

$3abx=3x^{2}+3x+1$

$3x^{2}+3x(1-ab)+1=0$
$x2+x(1−ab)+13=0x^{2}+x(1-ab)+\frac{1}{3}=0$

Donc il faudrait que:
$x=(ab−1)±((1−ab)2−43)1/22x=\frac{(ab-1)\pm ((1-ab)^{2}-\frac{4}{3})^{1/2}}{2}$

à condition que:
$((1−ab)2−43)≥0((1-ab)^{2}-\frac{4}{3})\geq 0$

Donc,
$1−2ab+a2b2−43≥01-2ab+a^{2}b^{2}-\frac{4}{3}\geq 0$
$a2b2−2ab−13≥0a^{2}b^{2}-2ab-\frac{1}{3}\geq 0$

alors:
$ab≥2±(4+43)1/22ab\geq\frac{2\pm (4+\frac{4}{3})^{1/2}}{2}$

$ab≥1±2(13)1/2ab\geq1\pm 2(\frac{1}{3})^{1/2}$

Et pour se l'imaginer (histoire de me rassurer):

$ab≥2.1547ab\geq 2.1547$

$ab≥−0.07457ab\geq -0.07457$

Pffff! c'est que ça s’assombrit; j'y vois plus très clair.

Ne me perdrais-je pas tout simplement?

Une pause donc... je ne sais que conclure... quelle piste prendre?

Allez-y et n'hésitez pas à me faire la leçon. Je souhaite en apprendre.

A+-*/

Bonjour, je reprends ton calcul :
Citation
Pour que x³+3abx soit un cube,
il faut que 3abx=2(x+2)²+4x(x+1)Je ne comprends pas cette égalité : peux-tu préciser ?

re,

Citation
Pour que x³+3abx soit un cube,
il faut que 3abx=2(x+2)²+4x(x+1)

C'est simplement enrober $x^3$ d'une couche de " 1Xcube".

Mais,
Citation
Pour que $x^{3}+3abx$ soit un cube,
il faut que $3abx=3x^{2}+3x+1$

n'est que rajouter le minimum pour que le cube $x^3$ soit un cube de $(x + 1)$ d'arête.

C'est cette dernière égalité que j'ai travaillée.

Je ne comprends pas "enrober".
Si on fait un dessin en perspective, on obtient un petit cube d'arête b à l'intérieur d'un grand cube d'arête a.
La différence des deux volumes a une forme "biscornue".
Le calcul de ce volume fait intervenir explicitement x, mais aussi a ( ou encore x et b ) : il ne peut pas valoir 2(x+2)² + 4(x+1) qui vaut 6x² + 12x + 8.

'lut,

Ah oui!
Désolé.
Je me suis trompé. (merci)

Au travail.

Enrober $x^3$ ce sera donc:

$x^3 enrob.=((x+2x)^{^2}-x^{2})x+2(x+2x)^{2}x$

$x^3 enrob.=26x^3$

donc: $3abx=26x^3$ devrait déboucher sur un "impossible" (pour x∈ $mathbb{Q}$ ) (si je ne me trompe encore).

Le cube immédiatement supérieur à $x^3$ = $2x)^{2}<em>x+2</em>x<em>x</em>x+x^3$ = $7x^{3}$

(ça me parait si évident...)
J'y retourne immédiatement).

A-*/

Désolé, mais je ne comprends toujours pas : ni la signification du calcul ((x+2x)²-x²)x + 2(x+2x)²x ( que représente, par exemple, x+2x ?), ni la signification de ce que tu nommes x³enrob.
Comme je te l'ai dit dès le début, le problème n'admet pas de solution en entiers non nuls : c'est un résultat connu depuis Fermat. Il ne peut donc pas admettre non plus de solution ( non nulle ) en rationnels.

Bonsoir,

Un peu naïf sûrement voici mon raisonnement:

Je pose $x =$ la différence de deux arêtes:

$a - b = x$

J'en déduis que $a^{3}-b^{3}= x^{3}+ 3abx$
Que je traduis ainsi:

La différence de deux cubes est égale à un cube $x^3$ plus quelque chose ( $3 a b x$ ).

Je voudrais que la différence des deux cube a et b soit un cube.
Il faut alors ajouter quelque chose au cube de la différence des arêtes a et b (=x) une valeur pour obtenir un autre cube de valeur immédiatement supérieur.
Donc,
$a^3-b^3=x^3+3abx$

alors $3 a b x$ = $7x^3$

On voit en effet que $x^3+7x^3=8x^3$ qui est bien un cube d'arête $2 x$

Est-ce plus clair?
(Je sais que c'est une impasse mais je cherche le fond.)

A+-*/

Ps:
Citation
$3abx=2(x+2)2+4x(x+1)3abx=2\left(x+2 \right)^{2}+4x\left(x+1 \right)$ c'était considérer x comme une valeur entière.

Bonjour,
Citation
Je voudrais que la différence des deux cube a et b soit un cube.
Il faut alors ajouter quelque chose au cube de la différence des arêtes a et b (=x) une valeur pour obtenir un autre cube de valeur immédiatement supérieur.C'est là qu'est l'os hélas. On souhaite obtenir un autre cube, certes, mais cela ne signifie pas que ce soit celui " d'arête immédiatement supérieure", ce qui n'a pas de sens sauf si a et b ( et donc x ) sont entiers.
Et encore ! immédiatement supérieur à a ( a+1), ou immédiatement supérieur à b ? (b+1)
La seule façon de raisonner est de dire que l'on cherche z pour que x³+3abx = z³, et cela introduit une inconnue supplémentaire.
Mais pourquoi chercher une solution quand on sait qu'il n'y en a pas ?

Bonsoir,

J'ai envie de préciser que la question « la différence entre deux cubes peut-elle être un cube » m'est venue comme ça (si je puis dire).

Cherchant sur internet, je m'aperçois que le sujet est traité depuis « la nuit des temps » et que la solution est impossible.

Bon...

je le soumets sur ce forum.

Une démonstration (postée plus haut) sur l'impossibilité d'une solution au problème (dans $mathbb{Q}$ ) me parait si obscure que je renonce à essayer de la comprendre.

Pourquoi me lancer dans l'impasse?

Il me reste en tête, du problème posté par Mathtous « l'invasion des un », l'astuce de la « bascule en x ».
Et cette simple égalité:

$a^3-b^3=x^3+3abx$ où on voit que $a^3-b^3=x^3$ + quelque chose.
$x = a - b$

$x^3$ est déjà un « petit cube » (quelque soit la dimension de x) mais il faut lui ajouter ce quelque chose = $3 a b x$ .

Pour que $x^3$ mue en un autre cube (de base x) il faut lui ajouter $7x^3$ .
(ou lui soustraire qqchose?)

Alors pourquoi $3abx=7x^3$ est-il impossible (avec a,b et x ∈ à $mathbb{Q}$ ) ?
C'est le départ d'une question qui à ce point ne me semble nécessiter que des +-*/.
Et parce qu'elle parait simple j'ose m'aventurer dans ce qui s'avère pourtant être une impasse (comme Mathtous le répète).

A nos +-*/.

Bonjour,

L’équation 3abx = 7x³ n’est pas si simple qu’il n’y paraît.
Il ne faut pas oublier que x dépend de a et b : x = a - b , et donc l’équation est en fait une équation de degré 3 mais avec deux inconnues ( a et b ).
Elle « tombe » en fait au second degré par simplification.
Elle n’admet pas de solutions rationnelles.
x³ + 3abx doit être un cube, mais pas obligatoirement celui de 2x !!
Et donc, le fait de ne pas trouver de solution à l’équation ci-dessus ne garantit même pas qu’il n’y a aucune solution au problème général.
Je t’avais proposé une démonstration de ce fait dans un précédent message

Bonjour,

Citation

L’équation 3abx = 7x³ n’est pas si simple qu’il n’y paraît.
...
Elle n’admet pas de solutions rationnelles.

J'avance encore un peu dans l'impasse, tentant de montrer l'irrationalité des solutions...

Donc on part de l'égalité:

$3abx=7x^3$

⇒ $ab=73x2ab=\frac{7}{3}x^2$

Or
$a = x + b$

⇒ $(x+b)b=73x2(x+b)b=\frac{7}{3}x^2$

$xb2+b−73x2=0xb^2+b-\frac{7}{3}x^2=0$

Cherchons les valeurs de b:

$b=−x±(x2+4∗73x2)1/22b=\frac{-x\pm(x^2+4*\frac{7}{3}x^2)^{1/2}}{2}$

$b=x(\frac{-1\pm(\frac{31}{3})^{1/2}}{2}})$

Alors:

$a=73x2ba=\frac{\frac{7}{3}x^2}{b}$

$a=73x−1±(313)1/22a=\frac{\frac{7}{3}x}{\frac{-1\pm(\frac{31}{3})^{1/2}}{2}}$

Juste pour vérifier, un tableau:

$fichier math$

Conclusion: à cause de $(313)1/2(\frac{31}{3})^{1/2}$

Mathtous
L’équation 3abx = 7x³ n’admet pas de solutions rationnelles.

(j'imagine que ce raisonnement ne vaut pas démonstration... ce serait trop simple )

Merci et A+-*/

Oui, c'est bien à cause de (31/3)1/2 ou √(31/3).
Inutile de calculer a, b suffit :
b = x[-1±√(31/3)]/2
Or, √(31/3) est irrationnel, donc:
si x est rationnel, b ne peut pas l'être ( donc a non plus );
si b est rationnel, c'est x qui ne l'est pas ( donc a non plus ).
Ils ne peuvent donc pas être tous trois rationnels .
Pas besoin de tableau qui ne peut évidemment pas être exhaustif, donc qui ne prouve rien.