3. Suites : Calcul d'une somme

Suites : Calcul d'une somme

  • M

    Bonsoir !
    J'aimerais que m'aidiez à résoudre un exercice svp,
    On souhaite calculer la somme :

    S = 1²+ 2² + 3²+ ... + 100²

    1. Soit P une fonction polynôme de degré 3:
      ax³ + bx² + cx + d
      Déterminer des valeurs a,b, c et d tels que pour tout entier naturel n :

    n² = P(n+1) - P(n)
    2) En déduire que :

    S= P(101) - P(0) et retrouver la valeur de la somme S.

    En calculant j'ai trouvé a=0; b= -1; c= P, d=P

    J'aimeriez que vous e disiez quel lien permet de passer de la première à la deuxième question svp.
    Merci

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Bonsoir Mirette,

    Pour passer de la question 1 à la question 2,
    Utilise la relation n² = P(n+1) - P(n)
    pour écrire chaque terme de la somme
    1² = ...
    2² = ...
    ...
    S = ...

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Bonjour,

    Mirette , es-tu sûre d'avoir compris la première question ?

    Ta réponse "c= P, d=P" n'a pas de sens...

    Je te rappelle le principe.

    $\text{p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

    Donc :

    $\text{p(n+1)=a(n+1)^3+b(n+1)^2+c(n+1)+d$

    $\text{p(n)=an^3+bn^2+cn+d$

    Tu obtiens donc :

    $\text{n^2=a(n+1)^3+b(n+1)^2+c(n+1)+d-[an^3+bn^2+cn+d]$

    Cette égalité doit être valable pour tout n

    Tu dois développer le membre de droite et procéder par identification pour trouver a,b,c,d.

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