L'invasion des 'un' ( pas des Huns ! )

Bonjour à tous.
Avis aux Mathforeux curieux :
Quel est le plus petit nombre entier ( positif ) par lequel il faut multiplier 23 pour que le résultat soit un entier s'écrivant uniquement avec des chiffres 1 ?
23 × ? ? = 111...11
PS : l’auteur de la meilleure solution gagnera une super-hyper-calculatrice-arithmétique.
PPS : les plagiaires seront systématiquement éliminés.
PPPS : les éventuels ex æquo seront départagés par leur orthographe et/ou la clarté de leurs explications.
SMS s'abstenir.
Bonne chance.

Salut,

Pour ma part j'ai démontré que 1111...11 ne peut être divisible par 23 ... Me serais-je trompé ?

Bonjour Thierry
Si j'écris 111...11, c'est parce que le nombre de chiffres "1" n'est pas précisé ni connu à l'avance.
Peux-tu détailler ta démonstration ?
PS : quand j'ai écrit le titre du sujet, la fin a été coupée ?!

Titre coupé oui, je ne sais pas pourquoi mais tu devrais le restaurer. (Par contre nous avons élucidé le problème de lenteur d'affichage des pages - cf le topic concerné).

Sinon je me suis trompé dans ma démonstration. Je vais donc devoir re-réfléchir à ton problème ^^

Le problème admet bien une solution ( j'ai refait les calculs "à la main " : évidemment personne n'est à l'abri d'une erreur ).
Naturellement, pas question de dire combien le résultat comporte de chiffres.

Salut,

A la main... c'est le cas de le dire.

J'ai la réponse chiffre par chiffre construite selon la manière traditionnelle de résoudre à la main une multiplication.

La réponse se compose de ces quelques chiffres:
48... ...7.
Si vous voulez la réponse entière ainsi que tous les détails je peux les transcrire proprement.

Existe-t-il une autre méthode d'approche pour résoudre ce problème?

A+-*/

Bonjour Carlun
Oui, puisque quelqu'un d'autre est sur les rangs, il est intéressant de comparer les méthodes.
Tu peux donc détailler :

la recherche,
la réponse,
et surtout assurer que l'on est sûr de trouver ainsi une solution et qu'il s'agit bien de la plus petite.

'jour.

Voici la recherche, la réponse et l'assurance (?) que c'est la plus petite.

$fichier math$

A+-*/

Bravo !
Personnellement, j'entrevois 3 méthodes ( mais il y en a peut-être plus ).
Celle que tu choisis présente des avantages et des inconvénients :
avantage : c'est probablement la solution la plus "élémentaire".
Inconvénients :
Tu aurais pu continuer la recherche de tes chiffres sans jamais parvenir à la fin : le "Et ainsi de suite" ne prouve pas que le processus s'arrête.
D'ailleurs ce n'est pas le fait que tu choisisses X et Y les plus petits que cela fournit la plus petite solution. En fait il n'y a pas de "choix" car X et Y sont des nombres d'un seul chiffre. Continue la recherche au-delà du 4 ( celui de gauche ) et regarde ce qui se passe ...
Le plus gros reproche que l'on puisse faire à ta méthode est donc finalement que tu "pars à l'aventure" : rien ne prouve à priori que le problème admette une solution.
Mais ta réponse est néanmoins juste ( tu aurais quand même dû donner la multiplication vérificatrice ).
J'attends de voir d'autres concurrents éventuels. Rien ne t'empêche de chercher d'autres méthodes.

Bonsoir,

Pour que ce soit possible de trouver un résultat d'une multiplication qui soit un entier s'écrivant uniquement avec des chiffres 1 ou des 2, ou des 3,4,5,6,7,8,9 il faudra que l'on multiplie le multiplicande qui doit être impaire hormis 5 et ses multiples par le multiplicateur recherché .

Je cherche encore comment éviter de partir à l'aventure comme tu me l'a fais remarqué.

Allons,

C'est plus compliqué si on souhaite que le produit s'écrive avec le même chiffre autre que 1.
C'est pour quoi je te conseille de rester avec uniquement des 1 au résultat.
Toutefois, tu élimines 5 ( et ses multiples ) à juste titre. Mais pour les autres entiers impairs ( 1,3,7,9 ) qui terminent le nombre donné, es-tu sûr qu'il y ait une solution ? Et pourquoi ?

Bonsoir,

$fichier math$

A+-*/

Recommence avec 23, de façon que le produit par un entier soit constitué uniquement de 3 ( par exemple ).
Le problème n'a d'intérêt que pour les nombres ( autres que 23 ) qui n'admettent pas de solution avec uniquement des 1.

Bonsoir,

Uniquement des trois avec 23:

$fichier math$

Et c'est logique je crois puisque passer de 11111111 (par exemple) à 33333333 ce n'est jamais que multiplier par 3. On fait pareil pour le multiplicateur de 23 ayant pour résultat la série des 1.
Peut-on avancer que le produit de tout nombre impaire hormis 5 et ses multiples avec un multiplicateur (qu'on recherche) il existe un résultat constitué d'un nombre fini de chiffres semblables?
Je cherche encore comment calculer ce nombre fini de chiffres semblables.

A+-*/

Bonjour,

J'ajoute au dossier ceci:

$fichier math$
Et donc
23 * 1 4 4 9 2 7 5 3 6 2 3 1 8 8 4 0 5 7 9 7 1 1 4 4 9 2 7 5 3 6 2 3 1 8 8 4 0 5 7 9 7 1
= 3,33E+042 Mais ce n'est pas le plus petit...

Mais comment établir une relation entre le nombre fini minimal de chiffres semblables de la réponse et le multiplicande??? Bigre!

A+-*/

Si a est un nombre ( entier ) donné pour lequel il existe un entier x tel que a.x = 111...11 , alors pour tout entier n de 1 à 9 , a.(nx) = nnn...n
Le vrai problème est celui-ci :
Citation
Peut-on avancer que le produit de tout nombre impaire hormis 5 et ses multiples avec un multiplicateur (qu'on recherche) il existe un résultat constitué d'un nombre fini de chiffres semblables?Comme précisé ci-dessus, si la réponse est oui avec des 1, c'est oui aussi avec n'importe quel autre chiffre.
Je travaille à cette question.

Citation
Je travaille à cette question.Elle est maintenant résolue ( sauf erreur de ma part ) et disponible sur demande en fichier PDF.
Naturellement, il est plus amusant de chercher soi-même la solution ( qui d'ailleurs peut être différente de la mienne ).
Je résume le problème :
Etant donné un entier a ( positif ) impair non terminé par 5, démontrez qu'il existe une infinité d'entiers x tels que a.x s'écrive uniquement avec des chiffres 1. Parmi ces solutions, il faut préciser laquelle est la plus petite.

Bonsoir,

mathtous
Parmi ces solutions, il faut préciser laquelle est la plus petite.

Élémentaire je dirais.

Et, oui, friand, j'aimerais recevoir ta démonstration en format PDF.

J'ai envie de malmener des solutions (programme python) afin de chercher une "loi" générale.

Chouette curiosité.

Y a pas d'autres qui veulent en découdre?

A+-*/

Bonjour,
Ton adresse mail est-elle toujours la même ?
Si oui, je te fais parvenir le fichier à cette adresse.
Apparemment, plus personne d'autre n'est sur les rangs : tu as donc gagné ( mais tu possèdes déjà la fabuleuse calculatrice ? je te ferai donc parvenir un autre logiciel ).

'soir,

Triturer à partir de, par exemple

pour le nombre 7 il y a 6 chiffres identiques= 1
pour le nombre 13 il y a 6 chiffres identiques= 1
pour le nombre 21 il y a 6 chiffres identiques= 1
pour le nombre 33 il y a 6 chiffres identiques= 1
pour le nombre 39 il y a 6 chiffres identiques= 1
pour le nombre 77 il y a 6 chiffres identiques= 1
pour le nombre 91 il y a 6 chiffres identiques= 1
pour le nombre 143 il y a 6 chiffres identiques= 1
pour le nombre 231 il y a 6 chiffres identiques= 1
pour le nombre 259 il y a 6 chiffres identiques= 1
pour le nombre 273 il y a 6 chiffres identiques= 1
pour le nombre 407 il y a 6 chiffres identiques= 1
pour le nombre 429 il y a 6 chiffres identiques= 1
pour le nombre 481 il y a 6 chiffres identiques= 1
pour le nombre 777 il y a 6 chiffres identiques= 1
pour le nombre 1001 il y a 6 chiffres identiques= 1
pour le nombre 1221 il y a 6 chiffres identiques= 1
pour le nombre 1443 il y a 6 chiffres identiques= 1
pour le nombre 2849 il y a 6 chiffres identiques= 1
pour le nombre 3003 il y a 6 chiffres identiques= 1
pour le nombre 3367 il y a 6 chiffres identiques= 1
pour le nombre 5291 il y a 6 chiffres identiques= 1
pour le nombre 8547 il y a 6 chiffres identiques= 1
pour le nombre 10101 il y a 6 chiffres identiques= 1
pour le nombre 15873 il y a 6 chiffres identiques= 1
pour le nombre 37037 il y a 6 chiffres identiques= 1
pour le nombre 111111 il y a 6 chiffres identiques= 1
pour le nombre ........... il y a 6 chiffres identiques= 1

Tellement évident ce dernier résultat affiché.

Résultats obtenus en programmant (en python) la méthode "à la main" la quête de 1 (exclusivement) produit de deux nombres.
Y a-t-il une logique liant la série des 7,13,21,33,39,77,91,143,....
La nuit porte conseils.

@mathtous
Ta démo m'intéresse beaucoup.
Encore merci pour tes suggestions de réflexions.

A+-*/

Je me demandais si la méthode de carlun n'était pas bonne à une seule condition, que la fonction qui associe Y= F(ai) soit bijective (ou ai est le i-eme nombre en base 10 à trouver).

En effet, à chaque étape on doit associer Y à la fonction 3*ai modulo 10 (0 < ai < 9) on remarque que pour chaque Y cherché, on a la fonction :

Y = F(ai) ou F: ai -> 3*ai modulo 10 où il y a un unique ai possible pour un Y donné. F va de {1,2..,9} vers {1,...,9}.

Il s'agit d'un cas particulier évidemment, mais de ce fait, il faudrait etre plus rigoureux pour montrer que la réponse de Carlun est donc le plus petit multiplicateur. Intuitivement, cela a un sens, maintenant il faudrait un peu pus de rigueur !

mathtous
Si a est un nombre ( entier ) donné pour lequel il existe un entier x tel que a.x = 111...11 , alors pour tout entier n de 1 à 9 , a.(nx) = nnn...n
Le vrai problème est celui-ci :
Citation
Peut-on avancer que le produit de tout nombre impaire hormis 5 et ses multiples avec un multiplicateur (qu'on recherche) il existe un résultat constitué d'un nombre fini de chiffres semblables?Comme précisé ci-dessus, si la réponse est oui avec des 1, c'est oui aussi avec n'importe quel autre chiffre.
Je travaille à cette question.

Il ne faudrait pas écrire ça sous la forme de: (2n+1) x = 1111111111 ? Il faut juste supposer que a est impair en fait, non ?

Non : a doit en effet être impair, mais pas multiple de 5 (i.e. pas terminé par 5).

mathtous
Non : a doit en effet être impair, mais pas multiple de 5 (i.e. pas terminé par 5).

Oui ça c'est écrit dans l'énoncé En fait les chiffres ni= {1,3,7,9} ont une propriété remarquable:

Yi -> Fi (x) -> ni * x modulo 10 est bijective sur {1,2,3,4,5,6,7,8,9} pour x appartient à {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Du coup si l'on note j, j-eme 1 ,1j, il existe toujours un Y i,j tel que la somme face 1,j et cela pour tout nombre qui se termine par ni, c'est à dire les chiffres impaires qui ne se termine pas par 5. Pour montrer que cette méthode nous donne le plus petit chiffre, on peut raisonner par l'absurde, en utilisant tous les chiffres différents de Yi,j sur l'intervalle {1,2,3,4,5,6,7,8,9}/Yi,j et montrer qu'aucun autre ne marche. Mais cela n'est pas vraiment nécessaire en fait parce que l'on adéjà montrer que l'application F était bijective.

Reste à montrer maintenant l'existence de la solution.

En fait pour justifier l'existence, il suffit de définir la fréquence de 1/a ( a a forcément une fréquence car a est composé d'un produit nombres premiers impaires et différents de 5).

Du coup on a une fréquence d < x (Euler), ce qui signifie que la fréquence que l'on pourra appeler xo a pour propriété : (1) 10^d - 1 = a.xo (comme a est impaire et 10 . Si l'on réécrit 11111... par (10^n+1 -1)/9. Il suffit de diviser xo par 9 (xo est forcément divisible par 9 d'après (1)) pour avoir une solution x pour un n+1 correspondant à la longueur de la fréquence d.

De plus en les restes de la division de 111... / a sont aussi cycliques, du coup on sait qu'il existe une infinité de solutions cycliques à cette équation: 1111... =a.x pour a impair et différent 5.

Du coup on a 1/a =0, f1f2...fn f1f2..fn

x= f1 .... fn /9

Tu avais également utilisé la fréquence de 1/a dans ta réponse ?