Analyse, entraînement pour le partiel


  • H

    Bonjour, je suis nouvelle et j'ai quelques soucis en analyse, j'aimerai que vous m'aidiez à comprendre quelques points sur l'analyse tel que la parité ou l'imparité, les dérivées etc s'il vous plait, afin que je puisse réussir mon partiel. Mercii =)!

    Exercice :

    Soit f, la fonction définie par l'application suivante :
    x→ f(x)= 3x²-4 / (x-2)²(x+1)

    1. Déterminez l'ensemble de définition de f.
    2. f est-elle paire ? impaire ? déterminez l'ensemble d'étude de f.
    3. a) Etudiez la continuité de f.
      b) f est-elle prolongeable par continuité en -1? en 2?
    4. Etudiez les limites et asymptotes sur l'ensemble d'étude.
    5. a) Etudiez la dérivabilité de f.
      b) Calculez la dérivée première de f'.
    6. Construisez le tableau de variation de f sur son ensemble de définition.
    7. Représentez graphiquement la fonction.

    Mes réponses :

    1. On pose (x-2)²(x+1) ≠ 0 on a donc Df = mathbbRmathbb{R}mathbbR - {-1;2}

    2. Pour que f(x) soit paire il faut que f(-x) = f(x) et si f(-x) = - f(x) alors la fonction est impaire.
      J'ai trouvé f(-x) = - f(x) donc la fonction est impaire.
      Mais voilà tous mes problèmes commencent je ne sais pas comment trouver le domaine d'étude ... :frowning2:

    3. a) f(x) est continue sur l'intervalle ]-∞;-1[U]2;+∞[
      b) Pour montrer que f est prolongeable il faut trouver la limite en -1 et en 2 ? Ou il faut faire autre chose ?

    4. Lim f(x) = +∞/-∞ , c'est donc une forme indéterminée mais je suis bloquée
      x→-∞
      parce que je ne sais pas comment faire après.

    Lim f(x) = +∞/+∞, pareil je suis bloquée
    x→+∞

    Lim f(x) = - 1/10
    x→ -1

    Lim f(x) = 8/11
    x→ 2

    Pour les 2 dérnières limites, on a 2 asymptotes verticable en x = -1 et x = 2.

    1. a) f est dérivable en tout point sur ]-∞;-1[U]2;+∞[
      On a ici f = U/V donc f'= U'V-UV'/ V²
      Ce qui nous donne f'(x) = (6x²+56x) / (x-2)²(x+1)
      avec f'(x) non définie pour x = -1 et 2 et s'annulant pour 6x²+56x = 0
      b)On pose alors : g (x) = 6x² + 56x
      g'(x) = 12x + 56

    Voilà tout ce que j'ai réussi à faire, surment avec plein d'erreur. J'espère que vous m'aideriez a résoudre ce problème. Merci d'avance =))).


  • Zauctore

    Salut

    C'est

    x↦f(x)=3x2−4(x−2)2(x+1)x\mapsto f(x)= \frac{3x^2-4}{(x-2)^2(x+1)}xf(x)=(x2)2(x+1)3x24

    ou bien

    x↦f(x)=3x2−4(x−2)2(x+1)x\mapsto f(x)= 3x^2-\frac{4}{(x-2)^2(x+1)}xf(x)=3x2(x2)2(x+1)4 ?

    Je penche pour la 2e forme, mais comme tu n'as pas mis de parenthèses...


  • H

    Ah oui désolée, dans le fascicule, il y a écrit :

    x↦f(x)=3x2−4(x−2)2(x+1)x\mapsto f(x)= \frac{3x^2-4}{(x-2)^2(x+1)}xf(x)=(x2)2(x+1)3x24


  • mtschoon

    Bonjour,

    Je regarde le début de tes réponses.

    OK pour l'ensemble de définition : R-{-1,2}=]-∞,-1[ U ]-1,2[ U ]2,+∞[

    f n'est ni paire ni impaire ( prends des exemples pour t'en convaincre )

    ( f ne peut être ni paire ni impaire puisque l'ensemble de définition n'est pas symétrique par rapport à 0 : f(2) n'existe pas alors que f(-2) existe ; f(-1) n'existe pas alors que f(1) existe )

    L'ensemble d'étude de fest donc l'ensemble de définition , c'est à dire R-{-1,2}

    f est continue sur ]-∞,-1[ , sur ]2,+∞[ mais aussisur ]-1,2[( comme quotient de fonctions continues , avec dénominateur non nul )

    f serait prolongeable par continuité en -1 si la limite à gauche ( en -1) était égale à la limite à droite ( en -1)
    Même démarche en +2

    *Essaie de revoir cela et poursuivre (toutes tes limites sont à refaire

    Pour la dérivabilité , tu oublies encore l'intervalle ]-1,2[

    Il faut aussi recompter ta dérivée )*


  • H

    Mercii 🙂

    Alors, j'ai réussi avec des exemples à comprendre pourquoi la fonction n'est ni paire, ni impaire 😉

    Par contre j'ai essayé de faire et comprendre avec différent cours de trouver les limites à gauche et à droite de -1 et +2 mais je trouve pour les 4 cas, +∞, ce qui signifierait que la fonction est prolongeable en -1 et 2 ?

    1. Lim f(x) = (3x²-4)/[(x-2)²(x+1)] = ∞/∞
      x→-∞
      Il s'agit donc d'une forme indéterminée, pour la lever j'ai fait :
      Lim (3x²-4)/[(x²-4)(x+1)], j'ai supprimé les x²-4 en haut et en bas et
      x→-∞
      j'ai trouvé 0.

    Même chose pour Lim f(x) , je trouve aussi 0.
    x→+∞

    Ensuite pour Lim f(x), j'ai trouvé 1/10
    x→-1

    Et pour Lim f(x), j'ai trouvé 8/2s, donc 1/3
    x→2

    Pour les limites en - et + ∞, on a des asymptotes horizontale d'équation y=0 .

    Ai-je fait encore des erreurs ?
    (Désolée, je suis nulle en math :frowning2: )

    1. a) f est dérivable en tout point sur ]-∞;-1[U]-1;2[U]2;+∞[
      En recalculant la dérivée de f(x) j'ai trouvé cette fois ci :
      f'(x) = (-3x^4 + 24x² + 32x + 16) / [(x-2)²(x+1)]²
      Avec pour x ≠ -1 et 2 au dénominateur
      et s'annulant pour -3x^4 + 24x² + 32x + 16 = 0

    b) On pose g(x) = -3x^4 + 24x² + 32x + 16
    donc g'(x) = -12x³ + 48x + 32


  • mtschoon

    OK pour tes limites à +∞ et -∞ et l'asymptote horizontale.

    Lorsque x tend vers -1 et lorque x tend vers 2 , tes limites sont fausses.*

    Par exemple :

    Lorque x tend vers -1 par valeurs inférieures à -1:

    (3x²-4) tend vers**-1**
    (x-2)² tend vers 9
    (x+1) tent vers 0−0^-0
    Donc (x-2)²(x+1) tend vers 0^-$

    Conclusion : f(x) tend vers +∞ :

    $\text{\fbox{\lim_{x\to 0^-}f(x) =+\infty}$

    Lorque tu auras compris , tu traites les autres cas.


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