somme d'un polynome

Bonjour j'ai s(n)=1/3(n)^3+1/2(n)²+1/6n je dois prouver cette conjecture par recurrence .
Sachant que s(n+1)=1/3(n+1)^3+1/2(n+1)²+1/6(n+1)
je dois deriver s(n) mais en la dérivant je ne trouve pas s(n+1)=s(n)
je trouve s'(n)=n²+n+1/6 si vous pouviez m'aider merci d'avance !

Bonjour,

Très confus tout ça !

Je te suggère de nous donner ton énoncé entier ( donne la propriété que tu dois démontrer par récurrence )

n
Sn=∑k²
k=0
On cherche s'il existe un polynome de degré 3, soit p(x)=ax^3+bx²+cx+d,exprimant cette somme ou ce volume:S(n)=P(n) pour tout entier naturel n supérieur ou égal a 1.Montrer que dans cette hypoyhèse on a:d=0 et a+b+c+d=1 .Toujours sous l'hypothèse que P existe bien ,montrer plus généralement que (a,b,c,d)est solution d'un système de 4 équations à quatres inconnues que l'on résoudra.Trouver P(x).(jusque l'à pas de problème je trouve (a,b,c,d) et P(x)=1/3(x)^3+1/2(x)²+1/6x))
Ecrire la conjecture relative à Sn.Montrer cette conjecture par récurrence . voilà mon problème c'est ecrire le conjecture relative à Sn.Et la montrer par récurrence .
Merci d'avance

En bref , il faut que tu démontres par récurrence que , pour n supérieur ou égal à 1 :

$\text{\fbox{s_n=\bigsum_{k=0}^{k=n}k^2=\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n}$

Je t'indique la marche à suivre :

a)Initialisation pour n=1

Tu vérifies que

$\text{s_n=\bigsum_{k=0}^{k=1}k^2=\frac{1}{3}1^3+\frac{1}{2}1^2+\frac{1}{6}1$

b) Transmission ( on dit aussi hétédité )

Hypothèse à un ordre n ( n≥ 1) :

$\text{s_n=\bigsum_{k=0}^{k=1}k^2=\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n$

Avec cette hypothèse , conclusion à démontrer à l'ordre (n+1) :

$\text{s_{n+1}=\bigsum_{k=0}^{k=n+1}k^2=\frac{1}{3}(n+1)^3+\frac{1}{2}(n+1)^2+\frac{1}{6}(n+1)$

DEMONSTRATION:

$\text{s_{n+1}=\bigsum_{k=0}^{k=n+1}k^2=\bigsum_{k=0}^{k=n}+(n+1)^2$

$\text{s_{n+1}=s(n)+(n+1)^2$

Tu remplaces S(n) par $\text{\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n$ , tu ajoutes $\text{(n+1)^2$ et après calculs , tu dois trouver $\text{\frac{1}{3}(n+1)^3+\frac{1}{2}(n+1)^2+\frac{1}{6}(n+1)$

Bons calculs .

mtschoon

DEMONSTRATION:

$\text{s_{n+1}=\bigsum_{k=0}^{k=n+1}k^2=\bigsum_{k=0}^{k=n}+(n+1)^2$

$\text{s_{n+1}=s(n)+(n+1)^2$

Tu remplaces S(n) par $\text{\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n$ , tu ajoutes $\text{(n+1)^2$ et après calculs , tu dois trouver $\text{\frac{1}{3}(n+1)^3+\frac{1}{2}(n+1)^2+\frac{1}{6}(n+1)$

Bons calculs .

oui mais en remplacant s(n) par $\text{\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n$ et en lui ajoutant (n+1)² je n'ai toujours pas trouver !Donc si vous pouviez me dire par ou commencer

Le plus simple peut-être consiste à développer séparemment les deux expressions en les mettant sous forme de polynomes réduits et ordonnés suivant les puissances décroissantes de n :

Tu dois trouver le même polynome ( $\text{{\frac{1}{3}n^3+\frac{3}{2}n^2+\frac{13}{6}n+1$ )