Orthocentre d'un triangle, calcul vectoriel

Bonjour,

j'ai un DM à rendre pour Mardi, sur le sujet des vecteurs.

Voici le sujet :

**"ABC est un triangle et O le centre de son cercle circonscrit.
A' est le milieu du segment [BC], B' celui de [CA] et C' de [AB]
On considère le point H defini par:
OH=OA+OB+OC (ce sont des vecteurs )

a) Montrer que AH= 2OA' ( vecteurs )
b) En déduire que la droite (AH) est la hauteur du triangle ABC issue du point A.
c) Que peut-on dire des droites (BH) et (CH) ?
d) Donner une caractéristique vectorielle de l'orthocentre d'un triangle."**

J'ai réussie les questions a et b, mais je ne sais pas du tout pour les questions c et d.

Pourriez-vous m'aidez ?
Merci beaucoup, et bon week-end.

Bonjour,

Cherche une relation entre BH et OB' puis CH et OC'.

Les points sont alignés ?

Donc je mets, en phrase de conclusion :
Les BH et CH sont colinéaire.

Non,

As-tu fait une figure ?

Oui, bien-sûr.

Je pense que BH et CH sont comme AH.
(BH) est la hauteur issue de B, et (CH) la hauteur issue de C.

Oui démontre le.

Pour BH, sa donnerai ça ?

B'C + B'A = 0
Or OH = OB + OC + OA
Donc OB + BH = OB + OC + OA
BH = OC + OA
BH = OB' + B'C + OB' + B'A
BH = 2OB

oui, 2 OB'.

D'accoooooord ! Et je fais pareille pour CH ?

Oui, idem pour CH.

Ok, sa donne
C'A + C'B = O
Or OH = OC + OA + OB
Donc OC + CH = OC + OA + OB
CH = OA + OB
CH = OC' + C'A + OC' + C'B
CH = 2OC'

On à démontré que CH = 2OC'. Or (OC') est la médiatrice de (AB) donc perpendiculaire à [AB]. Les vecteurs CH et OC' sont colinéaires. Donc CH est la hauteur issue de B.

(CH) est la hauteur issue du point C.

Oups, effectivement ...

Pour la d), je sais que H est l'orthocentre.

Tu en déduis que H est l'orthocentre du triangle et tu indiques la relation vectorielle.

Ok c'est fait !

Merci de ton aide !