Etudier les variations d'une suite


  • T

    Bonjour,

    La (Un)n€N ets définie par

    Vo = 1
    Vn+1 = 1/2 Vn + 4

    Pour étudier les variations de (Vn)n€N on veux connaitre le signe de Dn = Vn+1 - Vn
    Un calcul selon la 1er méthode n'aboutit pas. En revanche, en remontant d'un échelon de récurrencce pour chacun des éléments de la différence Dn, il est possible de :

    1. Exprimer Dn+1 et fonction de Dn
    2. En déduire que Dn+1 à le même signe que Dn.
    3. Expliquer pourquoi il suffit de connaître le signe de D0. Montrer que la suite (Un)n€N est croissante.

    Pour le 1. je crois qu'il faut faire

    Dn+1 = U(n+2) - U(n+1) ce qui est égale à Dn

    Merci pour m'expliquer plus en détail ce probleme car je n'y comprend plus rien.. 😞


  • mtschoon

    Bonjour,

    Cet exercice utilise **le raisonnement par récurrence.

    Pistes pour démarrer,**dn=vn+1−vnd_n=v_{n+1}-v_ndn=vn+1vn

    dn+1=vn+2−vn+1d_{n+1}=v_{n+2}-v_{n+1}dn+1=vn+2vn+1

    vn+1=12vn+4v_{n+1}=\frac{1}{2}v_n+4vn+1=21vn+4

    vn+2=12vn+1+4v_{n+2}=\frac{1}{2}v_{n+1}+4vn+2=21vn+1+4

    Donc :

    dn+1=(12vn+1+4)−(12vn+4)d_{n+1}=(\frac{1}{2}v_{n+1}+4) -(\frac{1}{2}v_n+4 )dn+1=(21vn+1+4)(21vn+4)

    Tu supprimes les parenthèses , tu simplifies , tu mets 1/2 en facteur et tu trouves :

    dn+1=12(vn+1−vn)d_{n+1}=\frac{1}{2}(v_{n+1}-v_n)dn+1=21(vn+1vn)

    Conclsion :

    $\fbox{d_{n+1}=\frac{1}{2}d_n}$

    Essaie de poursuivre.


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