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Modéré par: Thierry, mathtous
Fin 

Les MystèRes de R

- classé dans : Enigmes

Envoyé: 04.11.2005, 15:45

Cosmos
madvin

enregistré depuis: oct.. 2005
Messages: 781

Status: hors ligne
dernière visite: 26.02.13
Salut,

Allez à mon tour de poser une petite énigme.

Je vous propose un petit problème concernant les nombres rééls.

L'énoncé est très simple :

Soit 4 nombres rééls (appartenant donc à l'ensemble R) :

a = 0,99
b = 0,9999999999
c = 0,99... (une infinité de 9 donc)
d = 1

Le but du problème consiste à comparer 2 à 2 chacun de ses 4 rééls et d'en donner une démonstration.

C'est-à-dire de remplacer tous les ? ci-dessous par le signe <, > ou = :

a ? b
a ? c
a ? d
b ? c
b ? d
c ? d

N'oubliez surtout pas les démonstrations de vos propositions... moi je ne crois que ce qui est préalablement démontré.

Et voilou !!

Allez à vous de jouer...
Top 
 
Envoyé: 06.11.2005, 19:33

Cosmos
j-gadget

enregistré depuis: août. 2005
Messages: 565

Status: hors ligne
dernière visite: 21.02.13
Eh bien personne ne trouve...Voilà !
Top 
Envoyé: 06.11.2005, 19:35

Cosmos
madvin

enregistré depuis: oct.. 2005
Messages: 781

Status: hors ligne
dernière visite: 26.02.13
Je dirais plutôt que ça n'intéresse personne... icon_frown

Je vais attendre encore quelques jours avant de donner la réponse.



modifié par : madvin, 06 Nov 2005 @ 19:36
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Envoyé: 06.11.2005, 19:52

Modérateur


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Messages: 1469

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dernière visite: 24.02.13
Salut.

Je reprends tes nombres:

a = 0,99
b = 0,9999999999
c = 0,99... (une infinité de 9 donc)
d = 1

Je crois que comparer a, b et c ou bien a, b et d est trivial.

Le problème se situe entre c et d. Vu que je connais la réponse et la démonstration, je me tais. Je laisse les autres répondre.

Mon post ne sert qu'à concentrer les recherches des mathforeurs sur le point épineux.

@+
Top 
Envoyé: 06.11.2005, 20:49

Voie lactée
drecou

enregistré depuis: oct.. 2005
Messages: 137

Status: hors ligne
dernière visite: 17.09.06
Bonjour, je dirai que c=d :
Soit c=0.999(infinité)
10c=9.999(infinité)
dc 10c-c=9.999...-0.999=9
d'où 9c=9
et enfin c=d=1
cqfd
Est-ce juste :p ?
Ps: pour le reste rien de compliqué.
A+



modifié par : drecou, 06 Nov 2005 @ 20:50
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Envoyé: 06.11.2005, 23:02

Cosmos
madvin

enregistré depuis: oct.. 2005
Messages: 781

Status: hors ligne
dernière visite: 26.02.13
Bravo, c'est bien ça. Ta démonstration est correcte.



modifié par : madvin, 06 Nov 2005 @ 23:02
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Envoyé: 06.11.2005, 23:51

Cosmos
madvin

enregistré depuis: oct.. 2005
Messages: 781

Status: hors ligne
dernière visite: 26.02.13
Voici la solution détaillée :

Soient :
a = 0,99
b = 0,9999999999
c = 0,99... (une infinité de 9 donc)
d = 1

Prop.1) a < b

Démo. :
b - a = 0,9999999999 - 0,99 = 0,0099999999 > 0
donc b - a > 0
et b > a
CQFD

Prop.2) b < c

Démo. :
c - b = 0,99... - 0,9999999999 = 0,000000000099... > 0
donc c - b > 0
et c > b
CQFD

Corollaire 1) a < b < c

Prop.3) b < d

Démo. :
d - b = 1 - 0,9999999999 = 0,0000000001 > 0
donc d - b > 0
et d > b
CQFD

Corollaire 2) a < b < d

Prop.4) c = d

Démo. 1:
c = 0,99...
10*c = 9,99...
10*c = 9 + 0,99...
10*c = 9 + c
9*c = 9
c=1
c=d
CQFD

Démo. 2: (pour ceux qui ne seraient pas encore convaincus...)
(c+d)/2 = (0,99... + 1) / 2
= 1,99... / 2
= 0,99..
= c
donc
(c+d)/2 = c
c+d = 2*c
d=c
CQFD

Et voilou...

@+

PS : J'ai voulu souligner les "Démo. :" mais ça buggue encore icon_frown Tant pis...

PS 2 : Arfff !!! C'est le gras qui buggue maintenant pour les derniers "Prop.".. GRRR !!! icon_mad



modifié par : madvin, 06 Nov 2005 @ 23:59
Top 
Envoyé: 07.11.2005, 00:43

Webmaster
Thierry

enregistré depuis: juil.. 2004
Messages: 3135

Status: hors ligne
dernière visite: 20.07.16
0,999...=1 : elle est excellente !
De la même manière j'ai démontré que 1,999...=2.
Avec un raisonnement par récurrence : N,9999...=N+1
Ou encore : 0,39999...=0,4

C'est logique finalement, mais tellement inattendu : c'est vrai que je n'avais au départ prêté aucune attention à cette énigme.


PS : oui d'accord madvin c'est vrai il y a des bugs, mais faut pas s'ennerver pour çà ...


Thierry
Prof de math à Paris : http://thierry.leprof.free.fr/
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Envoyé: 07.11.2005, 03:30

Cosmos
madvin

enregistré depuis: oct.. 2005
Messages: 781

Status: hors ligne
dernière visite: 26.02.13
Désolé de m'être énervé, mais au départ ca avait bien marché c'est pour ça !! Alors je comprend rien et ça m'énerve... icon_razz
Bon de toute façon c'est pas très grave...

En ce qui concerne l'énigme, oui il y a une infinité de cas comme celui-ci... Tout réél contenant une suite infinie de 9 est égal à un autre réél ayant une partie décimale finie.

Cela vient du fait que l'on ne peut pas trouver de réél e tel que 0,99... < e < 1. Or une des propriétés de l'ensemble R est qu'il existe toujours un réél compris entre 2 autres rééls. C'est à dire que pour 2 rééls a et b, a < b, on peut toujours trouver un réél c tel que a < c < b. Or, c = (a+b) / 2 est un de ces rééls. Et ma 2ème démo montre bien que cette formule ne donne pas de nouveau réél. Donc forcément a=b dans ce cas là.

C'est vrai que la première fois qu'on voit ça, ça peut paraître bizarre, mais en tout cas c'est tout à fait correct...
Et puis apparemment pas mal de personnes la connaissaient déjà. icon_wink

@+
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Envoyé: 07.11.2005, 09:58

Cosmos
j-gadget

enregistré depuis: août. 2005
Messages: 565

Status: hors ligne
dernière visite: 21.02.13
Voilà, t'as plus qu'à proposer une autre énigme maintenant...Voilà !
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