Résolution d'équations différentielles avec fonction exponentielle

Voici 2 équations différentielles avec lesquelles j'ai du mal :

y'+3y = 3x² + 4e(x) y0= Ce^-3x

Faut-il chercher Yp de la forme (ax^3 + bx² + cx + d) + 4e^x ?

En faisant cela je trouve x^3 - x² + (2/3)x - 2/9 + 12e^x
pourtant la solution est x^3 - x² + (2/3)x - 2/9 + e^x

Voici la deuxième y'-y= 4xe^x + 4xe^2x y0= Ce^x

Comment poser Yp ?

Merci d'avance pour votre aide

Bonjour,

Pour la première équation , je te suggère de chercher une solution particulière ( que tu appelles Yp je pense ) , de la forme :
$\text{ax^2+bx+c+de^x$

Evidemment , il n'est pas toujours aisé de savoir de quel type doit-être cette recherche.

Pour la seconde , je te conseille ( si tu connais ) d'utiliser la méthode dite de "variation de la constante ".

Piste :

Tu sais que $\text{y_0=ce^x$

Tu cherches une solution particulière Yp de la forme $\text{y=k(x)e^x$

( La constante C est remplacée par une fonction "variable" d'où le nom imagé de "variation de la constante ".)

$\text{y=k(x)e^x donc , apres calcul , y'=k'(x)e^x+k(x)e^x$

Tu remplaces y et y' par ces expressions dans l'équation à résoudre.

Tu en déduis l'expression de K'(x).

En prenant une primitive , tu trouves K(x) , d'où Yp.

Sauf erreur , tu devrais trouver ainsi :

$\text{y_p=(2x^2+4(x-1)e^x)e^x$

Au final , la solution générale de l'équation proposée peut s'écrire :

$\text\fbox{y=ce^x+2x^2e^x+4(x-1)e^{2x}}$

je pense que tu t'es trompé pour la première, c'est de la forme Ax^3 + Bx² + Cx + De^x

Sinon pour la deuxième j'en arrive à K'(x)= 4x + 4xe^x
J'ai du mal pour la primitive de 4xe^x. ya pas une autre forme :s ?
car il faut intégrer par partie sinon.

Non , il n'y a pas d'erreur pour la première ( si ton énoncé est bien le bon ! )

Regarde.

Je te fais le calcul.

$\text{y=ax^2+bx+c+de^x$

$\text{y'=2ax+b+de^x$

En remplaçant dans l'équation :

$\text{2ax+b+de^x+3ax^2+3bx+3c+3de^x=3x^2+4e^x$

En regroupant :

$\text{3ax^2+(2a+3b)x+(b+3c)+4de^x=3x^2+4e^x$

$\left{3a=3\2a+3b=0\b+3c=0\4d=4\right$

Après calculs , tu dois trouver ainsi :

$\text{y_p=x^2-\frac{2}{3}x+\frac{2}{9}+e^x$

Pour la seconde :

OK pour K'(x).

OUI , il faut intégrer par parties pour trouver K(x)

je m'étais trompé dans le sujet du premier quel con x était à la puissance 3.

Sinon pour le deuxième si je n'est pas l'intuition de faire les opération en laissant K(x) et K'(x) écrit sans mettre a quoi celà correspond je suis foutu car je ne visionne pas que celà reviens à trouver la primitive de k'(x)

en plus je m'étais trompé k'(x) = 4+ 4e^x + 4x e^x edit: j'ai rien dit

j'en arrive à k(x) = 4xe^x - 4e^x

(4xe^x - 4e^x) e^x = (4x+ 4xe^x) e^x j'arrive pas à en venir à des x² etc comme toi..

Comme tu l'as indiqué dans une précedente réponse ( *ta dernière n'est pas bonne - recompte *- ) :

$\text{k'(x)= 4x + 4xe^x$

Une primitive de 4x est 2x² ( formule usuelle)

Une primitive de $4xe^x$ est $4(x-1)e^x$ ( par intégration par parties )

Donc $\text{k(x)=2x^2+4x(x-1)e^x$