Problèmes sur les LOG

Bonjour ben voilà j'ai un problème avec les logarithmes. Voici l'énoncé:

Une entreprise fabrique un produit, en quantité x, exprimée en milliers de tonnes.
Le coût total de fabrication est donné par :
$C_T$ (x) = x²÷4 + 9÷2 ln(x+1) pour x ∈ [0 ; 5].
Les coûts sont exprimés en millions d'euros.

Partie A
f(x) = x²÷2 + 9x÷x+1 - 9ln(x+1).

Calculer f'(x).
Vérifier que l'on peut écrire f'(x) = x(x-2)(x+4)÷(x+1)².
Établir le tableau de variation de f sur ]0 ; 5].
En déduire que f s'annule sur ]0 ; 5] pour une valeur unique a.
Déterminer un encadrement à $10^{-3}$ près de a ( méthode utilisée)
Déduire des résultats précédents le signe de f sur [0 ; 5]

Partie B
La fonction coût moyen $C_m$ est définie sur ]0 ; 5] par :
$C_m$ = $C_T$ (x)÷x = x÷4 + 9÷2 [ln(x+1)÷x]

Calculer C' $_m$ (x)
Vérifier que l'on peut écrire C' $_m$ (x) = f(x)÷2x² où f est la fonction de la partie A
Etudier le sens de variation de $C_m$ sur ]0 ; 5]
Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un coût moyen minimal, exprimé en euros par tonnes ?
Quel est le coût ?

Alors J'ai commencé la dérivée de la 1ère partie :
f(x) = x²÷2 + 9x÷x+1 - 9ln(x+1)
= 2x÷2 + 9÷x+1 - 9ln(x+1)
= x + 9÷x+1 - 9 × 1÷1
= x÷x+1 + 9÷x+1 - 9

Mais je suis vraiment bloquée. parce que je sais faire le autre question mais j'ai besoin de la dérivée, donc si vous pouviez m'aidez SVP

La partie B c'est la même, j'ai juste besoin de la dérivée

Merci d'avance

Bonjour,

Pour la dérivée de 9x/(x+1) c'est de la forme U/V
Pour 9ln(x+1) c'est ln U.

Merci, je vais essayer. Je repasse demain :))

Re
Bonsoir
J'ai un nouveau problème avec ma dérivée
Je l'ai refaite et voici mon résultat mais je pense qu'il est faut:

x + 9÷(x+1)² - 9÷(x+1)

je ne sais pas comment la réduire et je ne trouve pas de rapport avec ce qu'on me demande de justifier après.
J'ai tout essayé mais je n'y arrive pas si vous pouvez m'aidez svp

Merci d'avance

La dérivée est juste.
réduis l'expression au même dénominateur.
Puis développe x(x-2)(x+4) = ...

Quand je réduis ça me donne [ x(x+1)² + 9(x+1)² - 9(x+1)² ] / (x+1)²
J'ai tout réduit mais je ne comprends pas parce qu'il y a tout qui s'annule donc comment retrouver l'expression à justifier...,

j'ai développé et ça me donne x³ + 2x² - 8x
mais je ne vois pas le rapport...

Svp est-ce que quelqu'un pourrait m'aider SVP ??

A partir de :
x + 9/(x+1)² - 9/(x+1) =
[x(x+1)² + 9 - 9(x+1)]/(x+1)² =

Développe le numérateur.

voilà j'ai trouvé la même chose que le développement il faut juste mettre en facteur maintenant.

Est-ce que vous pouvez m'aider pour la 2ème me dire me dérivée svp ? juste me dire ce qu'il faut faire

Pour la dérivée de Cm
Quelle est la dérivée de x/4 ?
de ln(x+1)/x forme U/V ?

la dérivée de ln(x+1)/x c'est [x÷x+1 - ln(x+1)] / x²

et de x/4 c'est 1/4 ?

J'avais fait ça mais la dérivée de ln.... est plutot compliquée

C'est correct.

on enlève le 9/2 quand on réécrit la dérivée ?

D'ou vient 9/2 ?

Dans ma fonction de départ qu'il faut dériver il y a 9/2

Tu rajoutes le 9/2
Cm = CT(x)÷x = x/4 + 9/2 [ln(x+1)/x]
Cm' = ....

C' $_m$ (x) = 1/4 + 9/2 [x÷x+1 - ln(x+1)] / x²

C'est correct.

Je peux développer pour démontrer l'égalité à la question suivante ?

Réduis l'expression au même dénominateur.

j'essaye de mettre sur 2x² mais je n'y arrive pas, c'est bien sur celui là qu'il faut mettre ?

ça me donne [9x/x+1 - 9ln(x+1)] / 2x² + 1/4

J'ai fait ça mais j'ai un problème avec le 1/4

C'm(x) = 1/4 + 9/2 [x÷x+1 - ln(x+1)] / x²
= (x²/2 + ......)/2x²

x²/2 + 9x/x+1 - 9ln(x+1) / 2x²

si je fait ça j'ai multiplié le le 9 par la parenthèse mais je pense que c'est faux puisqu'il y a le 2 du 9/2 que j'ai pas utilisé...

C'est correct, tu as mis 2 en facteur au dénominateur.

ah d'accord merci pour la fin il faut juste regarder le tableau de variation que je vais faire à la question 2 ?

Oui, tu utilises le résultat des questions précédentes.

Merci beaucoup !!