Démontrer par différentes façons

Bonjour, j'ai vraiment du problème avec cet exercice, et c'est plutôt urgent. Merci de m'aider ^^

Démontrer par un raisonnement géométrique ou à l'aide des nombres complexes
Dans un plan complexe, ABC est un triangle tel que la mesure principale de l'angle (AB;AC) appartienne à $[0;π;]\begin{bmatrix} 0;\pi; \end{bmatrix}$
On construit extérieurement au triangle les carrées ACRS et BAMN puis le parallèlogramme MASD dont on note I le centre. Faire une figure. Le but de l'exercice est de montrer que la droite (AD) est une hauteur du triangle ABC et que AD=BC.

1. méthode géométrique
On note r la rotation de centre A et d'angle $π2\frac{\pi }{2}$

a. A quelles sont les images des point M et C par r?

Ici, j'ai prouver que M a pour image B et que C à pour image S

b. On note S' l'image de S par r. Montrer que A est le milieu du segment $[cs′]\begin{bmatrix} cs' \end{bmatrix}$

Ici, puisque S' est l'image de S par la rotation de centre A alors AS=AS'
Et AS∈ACRS donc AS=AC → AS'=AC
Image de C par la rotation est S et l'image de S est S', toujours par la même
rotation, donc
$arg(ac⃗;as′⃗)=arg(ac⃗;as⃗)+arg(as⃗;as′⃗)=π2+π2arg(\vec{ac};\vec{as'})= arg\left(\vec{ac};\vec{as} \right)+arg\left(\vec{as};\vec{as'} \right)=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}$
$(ac⃗;as′⃗)=π\left(\vec{ac};\vec{as'} \right)=\pi$
Donc A est le milieu de S'C

c. On note I' l'image de I par r. Montrer que I' est le milieu du segment $[bs′]\begin{bmatrix} bs' \end{bmatrix}$

Ici, B est l'image de M par la rotation r
S' est l'image de S par la rotation r
I est le milieu de de la diagonal $[ms]\begin{bmatrix} ms \end{bmatrix}$
Puisque les rotation conserve les longueur et les milieu, alors
I' est le milieu de $[bs′]\begin{bmatrix} bs' \end{bmatrix}$
Donc, les point CAS' sont alignées.

d. En déduire que la droite (AD) est perpendiculaire à la droite (BC) et que AD=BC.

J'ai prouvé que AD=BC puisque AS=AC (∈ au carrée ACRS) et que DS=BA (Puisque le parallèlogramme partage un côté avec le carrée BAMN)... Mais je ne le déduit pas. Et j'ai beau chercher, je n'arrive pas à prouver l'angle droit en $[ad]\begin{bmatrix} ad \end{bmatrix}$ et $[bc]\begin{bmatrix} bc \end{bmatrix}$

2. Utilisation des nombres complexes
a, b et c sont les affixes respectife de A, B et C.

a. Calculer les affixes des points S et M en fonction de a, b et c.

s est l'affixe de S et m est l'affixe de M
ACRS est un carrée, donc
$(ac⃗;as⃗)=π2\left(\vec{ac};\vec{as} \right)=\frac{\pi }{2}$
$s−ac−a=π2\frac{s-a}{c-a}=\frac{\pi }{2}$
et à la fin je trouve,
$s=π2(c−a)+as=\frac{\pi }{2}\left(c-a \right)+a$
BAMN est un carrée, donc
$(ab⃗;am⃗)=π2\left(\vec{ab};\vec{am} \right)=\frac{\pi }{2}$
$m−ab−a=π2\frac{m-a}{b-a}=\frac{\pi }{2}$
et à la fin je trouve,
$m=π2(b−a)+am=\frac{\pi }{2}\left(b-a \right)+a$

b. Calculer l'affixe du vecteur $ad⃗\vec{ad}$ et celle du vecteur $bc⃗\vec{bc}$ .

Bon, pour $bc⃗\vec{bc}$ , c'est facile
$bc⃗=c−b\vec{bc}=c-b$
Mais pour $ad⃗\vec{ad}$ , j'ai un doute sur mon résultat.
je trouve que
$ad⃗=as⃗+sd⃗\vec{ad}=\vec{as}+\vec{sd}$ et $sd⃗=am⃗\vec{sd}=\vec{am}$
je trouve au final que
$ad⃗=π2(c+b−2a)\vec{ad}=\frac{\pi }{2}\left(c+b-2a \right)$

c. Montrer que $ad⃗\vec{ad}$ et $bc⃗\vec{bc}$ sont orthogonaux et que AD=BC.

Voilà mon deuxième problème. J'arrive à prouver que c'est un angle droit puisque
$arg(bc⃗;ad⃗)=π2arg\left(\vec{bc};\vec{ad}\right)=\frac{\pi }{2}$
mais je ne trouve pas que
$∣bc⃗;ad⃗∣=1\left|\vec{bc};\vec{ad} \right|=1$

S'il vous palît aider moi, je ne sais plus quoi faire :frowning2:
Merci pour tout

Bonsoir,

question 1 d)
Que peut-on dire des droites (AI') et (BC) ?

Pour la question 2,
c'est arg ((s-a)/(c-a)) = π/2

A est le milieu de $[cs′]\left[cs' \right]$ et I' est le milieu de $[s′b]\left[s'b \right]$ donc, d'après le théorème des milieu (je crois que 'est celui-là où c'est thalès?), (AI') et (BC) sont parallèles.

Or, la droite (AI') est perpendiculaire à (AI) à cause de la rotation r.
De plus D,I et A sont alignées, donc (AI') est perpendiculaire à (DA).

Quand deux droites d1 et d2 sont parallèles. Si d1 est perpendiculaire a une troisième droite d3, alors d2 est également perpendiculaire à d3.
Merci beaucoup. ^^

Pour la question 2 c'est vrai que c'est l'arg ((s-a)/(c-a))=π/2... j'ai ait la même faute pour m-a/b-a.... Mais je vois toujours pas, tu pourrais développé un peu s'il te plaît ^^"?

La droite des milieux.

Pour le 2 tu appliques : $z=∣z∣eiθz=\mid z\mid e^{i\theta }$

.... comment je fais pour fair passer le -a? ... Pas très pratique..
Enfin bref... Merci pour tous tes efforts pour m'aider à comprendre ce problème ^^"

$e^{iπ/2}$ = i

Une erreur dans la mesure des angles l'un est égal à -π/2.

AAAAAh, j'avais pas vu o_O.... Merciii, tu es ma sauveuse (si t'es une fille).

Mouhahaha (6 heures qui n'ont pas servi à rien :evil: , enfin, je m'en étais rendu compte plus tôt, j'aurai pas eu tous ces problèmes U_U)