Série convergente et somme

Bonjour à tous,

Je bloque bêtement sur mon exo de série :

Pour tout n ∈ IN, on pose : Un =(n (n+2)) / (n+1)!
Montrer que la série de terme général Un converge et calculer sa somme S = ∑ Un,
n variant de 0 à +∞.

Je n'arrive pas à modifier le terme Un afin de pouvoir prouver la convergence et ainsi, calculer la somme.

Quelqu'un aurait -il une piste pour m'aider ?

Merci d'avance.

Bonjour,
Un = 1/(n-1)! + 1/n! - 1/(n+1)! : ça aide ?

Oui je pense, car je me retrouve ainsi avec une somme de 3 termes généraux de suites exponentielles, c'est bien ça ?

Merci pour ton coup de main.

Oui, la seule chose c'est qu'il faut faire attention aux décalages d'indices.
L'égalité est vraie seulement à partir de n = 1.

Donc, si j'ai bien compris, pour le calcul de la somme, on a :

S = ∑ Un, n variant de 0 à +∞
= U0 + ∑ ( 1/(n-1)! + 1/n! - 1/(n+1)! ), n variant de 1 à +∞
= 1 + ∑ (1/(n-1)! ), n variant de 1 à +∞ + ∑ ( 1/n! ), n variant de 0 à +∞ - ∑ (1/(n+1)! ), n variant de 0 à +∞
= 1 +∑ (1/n! ) , n variant de 1 à +∞ + ∑ ( 1/n! ), n variant de 0 à +∞ - ∑ (1/n! ) , n variant de 0 à +∞
= 1 + ( e-1) + e + e
= 3e

C'est bien ça ?

Heu ... ce n'est pas ce que je trouve.
Déjà, la dernière somme est à soustraire.
Ensuite, U0 = 0 , pas 1.
S = u0 + u1 + u2 + ...
S = 0 + ∑ 1/(n-1)! + ∑1/n! - ∑1/(n+1)! n variant de 1 à +∞
S = e + (e-1) - (e-2) = e+1 ?
Vérifie avec précaution : je m'embrouille toujours dans les indices.

Oui tu as raison, je fais le calcul différemment, mais je trouve le même résultat que toi, donc cela doit être ça !

Merci beaucoup pour ton aide Mathous.

De rien.