Trop de racines nuit


  • M

    Bonjour à tous.
    Avis aux Mathforeux curieux :
    Le nombre
    x=13286889+3645543−13286889−3645543x = \sqrt[3]{\frac{\sqrt{13286889}+3645}{54}}-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{13286889}-3645}{54}}x=35413286889+3645354132868893645
    est entier.
    Oui, mais il existe une infinité de nombres entiers, alors lequel est-ce ?
    PS : l’auteur de la meilleure solution gagnera une super-hyper-calculatrice-arithmétique.
    PPS : les plagiaires seront systématiquement éliminés.
    PPPS : les éventuels ex aequo seront départagés par leur orthographe et/ou la clarté de leurs explications. SMS s'abstenir.
    Bonne chance.


  • C

    Bonsoir,

    Posons
    a=13286889
    b=3645
    c=54

    Reste plus qu'à "LaTexer".

    Donc: x=(a+b)c3−(a−b)c3\sqrt[3]{\frac{\left(\sqrt{a}+b \right)}{c}}-\sqrt[3]{\frac{\left(\sqrt{a}-b \right)}{c}}3c(a+b)3c(ab)

    xc1/3xc^{1/3}xc1/3=(a+b)3−(a−b)3\sqrt[3]{\left(\sqrt{a}+b \right)}-\sqrt[3]{\left(\sqrt{a}-b \right)}3(a+b)3(ab)

    x3c=(a+b)−(3(a+b)2/3(a−b)1/3)+(3(a+b)1/3(a−b)2/3)−(a−b)x^{3}c=\left(\sqrt{a}+b \right)-\left(3\left(\sqrt{a}+b \right)^{2/3}\left(\sqrt{a}-b \right)^{1/3}\right)+\left(3\left(\sqrt{a}+b \right)^{1/3}\left(\sqrt{a}-b \right)^{2/3}\right)-\left(\sqrt{a}-b \right)x3c=(a+b)(3(a+b)2/3(ab)1/3)+(3(a+b)1/3(ab)2/3)(ab)

    x3c=2b−3(sqrta+b)1/3((sqrta+b)1/3(sqrta−b)1/3)+3(sqrta−b)1/3((sqrta+b)1/3(sqrta−b)1/3)x^{3}c=2b-3\left(sqrt{a}+b \right)^{1/3}\left(\left(sqrt{a}+b \right)^{1/3}\left(sqrt{a}-b\right)^{1/3}\right)+3\left(sqrt{a}-b \right)^{1/3}\left(\left(sqrt{a}+b \right)^{1/3}\left(sqrt{a}-b\right)^{1/3}\right)x3c=2b3(sqrta+b)1/3((sqrta+b)1/3(sqrtab)1/3)+3(sqrtab)1/3((sqrta+b)1/3(sqrtab)1/3)

    x3c=2b−3(sqrta+b)1/3(a−b2)1/3+3(sqrta−b)1/3(a−b2)1/3x^{3}c=2b-3\left(sqrt{a}+b \right)^{1/3}\left(a-b^2 \right)^{1/3}+3\left(sqrt{a}-b \right)^{1/3}\left(a-b^2 \right)^{1/3}x3c=2b3(sqrta+b)1/3(ab2)1/3+3(sqrtab)1/3(ab2)1/3

    x3c=2b−3(a−b2)1/3((a+b)3−(a−b)3)x^{3}c=2b-3\left(a-b^{2} \right)^{1/3}\left( \sqrt[3]{\left(\sqrt{a}+b \right)}-\sqrt[3]{\left(\sqrt{a}-b \right)}\right)x3c=2b3(ab2)1/3(3(a+b)3(ab))
    x3c=2b−3(a−b2)1/3(xc1/3)x^{3}c=2b-3\left(a-b^{2} \right)^{1/3}\left(xc^{1/3} \right)x3c=2b3(ab2)1/3(xc1/3)

    J'ai trouvé en tripatouillant les valeurs que:

    (a−b2c2)1/3=23=(a−b2)1/3c2/3\left(\frac{a-b^{2}}{c^{2}} \right)^{1/3}=\frac{2}{3}=\frac{\left(a-b^{2} \right)^{1/3}}{c^{2/3}}(c2ab2)1/3=32=c2/3(ab2)1/3

    Donc

    x3c=2b−3c2/3((a−b2)1/3c2/3)(xc1/3)x^{3}c=2b-3c^{2/3}\left(\frac{\left(a-b^{2} \right)^{1/3}}{c^{2/3}}\right)\left(xc^{1/3} \right)x3c=2b3c2/3(c2/3(ab2)1/3)(xc1/3)

    x3c=2b−2c2/3(xc1/3)x^{3}c=2b-2c^{2/3}\left(xc^{1/3} \right)x3c=2b2c2/3(xc1/3)

    x3c+2xc−2b=0x^{3}c+2xc-2b=0x3c+2xc2b=0

    Or

    2bc=729054=135\frac{2b}{c}=\frac{7290}{54}=135c2b=547290=135

    Alors:

    x3+2x−135=0x^{3} +2x -135=0x3+2x135=0

    x=5x=5x=5

    Chouette parcours; merci.

    A+-*/


  • M

    Déjà une très bonne solution de Carlun.
    Qui d'autre relève le défi ?


  • M

    Citation
    Déjà une très bonne solution de Carlun.
    Qui d'autre relève le défi ?
    Je laisse jusqu'au 10 janvier ...
    Bon courage et bonne année à tous.


  • C

    Bonjour,

    La solution ci-dessus ressemble (à mes yeux) à un beau dialogue "poémathique": au fur et à mesure de la discussion, les éléments se transforment, se con-fondent et finissent par s'entendre.

    J'ai encore réfléchi mais, avec mes +-*/ je ne vois pas d'autres pistes à suivre...
    Peut-être qu'un coup de pouce serait le bienvenu.

    J-2

    A+-*/


  • M

    Bonjour,
    Je n'ai pas décelé d'erreur dans ta solution.
    Elle présente de plus à mes yeux l'avantage de ne nécessiter aucun tâtonnement, même évident, contrairement à certains exemples que tu peux lire ici : Equation du troisième degré.
    De toute façon, je serais surpris qu'une autre réponse se manifeste maintenant.


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