3. Comment retrouver par le calcul la formule de la dérivée

Comment retrouver par le calcul la formule de la dérivée

  • A

    Bonjour à tous,
    Une rubrique curiosité c'est ce qu'il me fallait.

    Par simple curiosité est-ce que qqun sait comment on retrouve les formules des dérivées ?

    Je m'explique, j'ai 35 ans donc je n'en n'ai plus besoin, mais lorsque j'ai appris les dérivées on nous donnais toujours la formule, seulement aucun de nos 3 profs de math n'a jamais voulu nous dire d'ou sortait les formules, autant dire que pour nous élèves c'était des formules magiques.

    Par exemple :
    Fonction :
    XnX^nXn

    Dérivée :
    nxn−1nx^{n-1}nxn−1

    Comment arrive t-on à retrouver par le calcule la "formule" de la dérivée ?

    Est-ce que qqun connait un site qui explique ça ?

    Merci

    M 1 réponse
  • M

    Bonjour,
    Les formules ont toutes été établies un jour ou l'autre.
    C'est plus ou moins simple, mais toujours on utilise la définition : f'(x) = limite quand h tend vers 0 de [f(x+h) - f(x)]/h

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  • A

    Merci
    Je crois que j'ai trouvé, j'avais regardé sur wikipedia sans trouver mais en regardant les liens en bas de l'article je suis tombé sur ça :

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Exemples_de_calcul_de_dérivée

    Bon je n'ai pas encore cherché à comprendre l'explication mais apparament c'est bien la méthode de calcule qui part de la fonction xnx^nxn et qui arrive à la dérivée nxn−1nx^{n-1}nxn−1, ils ont juste remplacé le x par a.

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  • M

    Il y a plusieurs méthodes.
    On commence par déterminer les dérivées des fonctions les plus simples, puis on applique des règles générales ( que l'on démontre aussi ) afin de passer à des fonctions plus compliquées : dérivée d'une somme, d'un produit, etc.
    Si vous voulez, je peux à titre d'exemple effectuer la démonstration pour f(x) = xnx^nxn .

    A 1 réponse
  • A

    Oui merci je veux bien.

    M 1 réponse
  • M

    f(x) = xnx^nxn
    donc f(x+h) = (x+h)n(x+h)^n(x+h)n
    Donc f(x+h) - f(x) = (x+h)n(x+h)^n(x+h)n - xnx^nxn
    Or, on sait que (x+h)n(x+h)^n(x+h)n = xnx^nxn +n xn−1x^{n-1}xn−1h + n(n−1)/2xn−2n(n-1)/2x^{n-2}n(n−1)/2xn−2h + ... + hnh^nhn
    Donc f(x+h) - f(x) = n xn−1x^{n-1}xn−1h + n(n−1)/2xn−2n(n-1)/2x^{n-2}n(n−1)/2xn−2h² + ... + hnh^nhn
    Donc en divisant par h, on obtient : n xn−1x^{n-1}xn−1 + n(n−1)/2xn−2n(n-1)/2x^{n-2}n(n−1)/2xn−2h + ... + hn−1h^{n-1}hn−1
    Lorsque h tend vers 0, tous les termes tendent vers 0 sauf le premier, n xn−1x^{n-1}xn−1 , qui ne contient pas h.
    D'où la réponse.

    A 1 réponse
  • A

    Ok merci c'est bon cette fois j'ai compris, il m'a fallu un peut de temps, mais désormais je vois concrétement le rapport entre la fonction et sa dérivée.
    J'ai juste un problème qui reste abstrait :
    On dit que h≠0 mais h temps vers 0, c'est quoi la différence entre les 2 ?

    M 1 réponse
  • M

    h devient de plus en plus petit ( en valeur absolue ), mais il ne peut pas prendre la valeur 0 car il figure au dénominateur dans la définition.
    Il s'agit cette fois d'une notion de limite. On peut la mettre en forme de façon précise mais abstraite. Cela vous entraîne dans des considérations volumineuses. Le plus simple est de lire un manuel de première sur la question.
    Tout ( ou presque ... ) y est démontré.

    A 1 réponse
  • A

    Ok merci pour tout
    Tes explications m'ont bien éclairés, j'ai compris ce que je voulais comprendre désormais.

    M 1 réponse
  • M

    A ton service.
    Je dois maintenant me déconnecter.
    A plus tard ici ou sur mon site.

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