deux suites imbriquées

Bonjour, je suis actuellement élève de lycée et mon professeur de mathématiques nous donne des devoirs maisons assez compliqués cet exercice n'est pas le plus dur mais c'est en tout cas sur celui ci que je bloque, c'est la première fois que je demande de l'aide en maths sur internet merci par avance de votre compréhension.

Voici le sujet

Soient a et b deux réels strictement positifs.
On considère les suites $(a$ n $em>{n∈N}$ et $(b$ n $em>{n∈N}$ définies par

$a_0$ =a
$b_0$ =b
∀n∈N, $a$ _{n+1} $= (a$ n $b_n$ )/2
∀n∈N, $b</em>{n+1}$ =√ $(a$ _n $b_n$ )

on suppose ici que a≥b

a) démontrer que
∀n∈N, 0 < $b_n$ ≤ $b_{n+1}$ ≤ $a_{n+1}$ ≤ $a_n$

b) démontrer que ∀n∈N, $a$ {n+1} $b</em>{n+1}$ ≤ $1/2^n$ )× $(a$ _n $b_n$ )

et en déduire que:
∀n∈N, 0≤ $a$ _n $b_n$ ≤ $1/2^n$ )× $(a$ _0 $b_0$ )

c) Que peut-on déduire des résultats précédents ?

On suppose ici que a < b Démontrer que dans ce cas, 0 < $b_1$ ≤ $a_1$
Que peut-on en déduire étant donnés les résultats établis au 1) ?
On note L(a;b) la limite commune des suites a et b indépendantes de l’ordre de a et de b.
On l’appelle la « moyenne arithmético-géométrique » de a et b.
Démontrer que quel que soit le choix de a et de b :

a) L(b;a)=L(a;b)

b)∀c ∈ ]0;+∞[, L(ca;cb)=c L(a;b)

c)√(ab)≤L(a;b)≤(1/2)×(a+b)

Déterminer une approximation de L(1;2) à $10^{-6}$ près en précisant d'emblée à
partir de quelle valeur de n on peut être certain que $a_n$ et $b_n$ fournissent une telle
approximation.

Encore merci par avance, toute aide est la bienvenue

edit : merci de donner des titres significatifs

Bonjour,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

a) tu utilises les propriétés sur les inégalités.

les questions qui me posent problème sont toutes celles du 3)

Quelle est la limite commune des deux suites ?