Exercice -Terminale S- Suites (fraction continue)

Bonjour à tous,
J’espère que vous allez bien?!. Moi pas super car je bloque sur un exercice. Je sollicite donc votre aide. L'énoncé :

On pose Uo= 1 ;
U1 = 1/(2+1) ;
U2= 1/(2+1/(2+1) )
et Un = 1/(2+1/.../(2+1/(2+1)) avec n traits de fraction

**1)**Trouver (Un) par récurrence.

*Ma réponse : Un+1= 1/(2+Un) *

2) Représenter graphiquement ses premiers termes

C'est fait.

**3)**On pose a= -1+Racine de 2 et f(x)=1/(2+x)
Vérifier que f(a) =a

C'est fait.

**4)a)**Montrer que, pour tout n≥0, on a Un≥ 0 et que |Un+1-a| ≤ 1/4 |Un - a|

b) En déduire que, pour tout n≥ 0, valeur absolue de |Un-a| ≤ 1/4^n

c) Trouver la limite de Un.

Ce sont les dernieres questions qui me bloquent. Pourriez-vous m'expliquer en tout détaillant SVP. Merci beaucoup beaucoup.
Je bloque beaucoup sur les questions 4)a et b). MERCI BEAUCOUP
Aidez moi SVP. Je sais qu'il faut faire une récurrence mais comment faire je n'y arrive pas du tout.

Bonjour

La première partie de 4a) est triviale (enfin faut le faire par récurrence proprement).

Pour la 2e partie de 4a) il suffirait de montrer que pour x positif, on a

|f(x) - f(a)| ≤ 1/4 |x - a|,
ce qui est clair en mettant au même dénominateur. Pour revenir à la question, on prend ensuite x = $U_n$ .

Enfin quelqu'un qui me répond. Mais Zauctore je n'ai toujours pas compris pour la 4)b). Pourrez-tu plus détaillé? Merci

pour la 4b), rends-toi compte que l'on a la suite d'inégalités :

$∣un+1−a∣≤1/4∣un−a∣≤(1/4)2∣un−1−a∣≤⋯≤(1/4)n∣u1−a∣≤(1/4)n+1∣u0−a∣\small |u_{n+1}-a| \leq 1/4 |u_{n}-a| \leq (1/4)^2 |u_{n-1}-a| \leq \cdots \leq (1/4)^n |u_{1}-a|\leq (1/4)^{n+1} |u_{0}-a|$

la réponse en découle.

J'ai compris ! Ahhhh enfin !!!!!!!. Dernière question : Est-il nécessaire de utiliser la récurrence pour la 4)b) ? Merci Zauctore.

une démo tout-à-fait rigoureuse le demande en effet.

ce que j'ai écrit ci-dessus fait appel à des pointillés ("que se passe t-il dans les points de suspension ?" entend-on parfois) et certains peuvent trouver cela peu rigoureux, voire contestable...

C'est beau, quand même, les fractions continues :

$12+12+12+12+⋯=2−1\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\cdots}}}} = \sqrt2 - 1$

=D Oui beau mais conpliqué hein! =). Zauctore je bloque une fois de plus lorsque je fais l'hérédité. Je ne sais pas quoi commencer car il faut bien démontrer que Uk+1-a < 1/4^k+1. J'ai compris ce qu'il faut démontrer mais comment te dire je n'arrive pas à l'écrire. Dis moi je ne peux mettre des pointillés, non? Je suis vraiment perdu avec tous les formules là!.

Désolé hein je dois vraiment t'enbeter avec tout sa. Mais hier jai passé la journée à chercher et j'y étais presque mais j'en avais marre, j'ai arrété. Et la ya tous les formules et tout qui me revient. Enfin bref, pour l'hérédité je dois utiliser l'idée de ta suite d'inégalité? Merci MErciiii

ENfin bref laisse tombé je pense ou du moin vais essayé de trouver. Merci tu ma aidé, éclairé. Merci encore.

Tu en es encore à prouver 4b) En déduire que, pour tout n≥ 0, valeur absolue de | $U_n$ -a| ≤ $1/4^n$ par récurrence ?

La relation est claire pour les petites valeurs de n, oui ?

L'HR est | $U_n$ - a| ≤ $1/4^n$ supposée vraie pour un certain rang n ; on veut prouver que ceci se transmet au rang suivant, c'est-à-dire que l'on a

| $U_{n+1}$ - a| ≤ $1/4)^{n+1}$
Or on sait cf 4a) que | $U_{n+1}$ - a| ≤ 1/4 | $U_n$ - a|... il est facile ici de faire jouer l'HR pour obtenir ce que l'on veut ; n'est-ce pas ?

T'es revenue , Youpi =D, alors on aura Un+2-a < 1/4 Un+1-a ? Puis on passe le n+1 sur le 1/4. Euhh ...

Pardon , non non il suffit de remplacer n par n+1 ??

Nah désole encore perdu. =(

reprenons je trouve Un+1-a<1/4^n Uo-a <--> Un+1-a<1/4n+1 -a.

Tu ne prends pas les choses méthodiquement :

tu pars de | $U_{n+1}$ - a| ≤ 1/4 | $U_n$ - a|
tu injectes | $U_n$ - a| ≤ $1/4)^n$
et tu obtiens | $U_{n+1}$ - a| ≤ $1/4)^{n+1}$

(Évidemment tu n'as pas oublié avant tout ça de vérifier que la récurrence est fondée)

Merci zauctore vais encore chercher comment on arrive à trouver le 1/4 ^n+1.

C'est 1/4 × $1/4)^n$ tout simplement

Ahhh ben oui grrrrrr. XD Je vais chercher trop loin moi. Merci Zauctore heuresement que t'as été la pour moi.

ZAuctore j'ai un autre petit problème :
tu sais dans l'hérédité de la question 4) a) j'ai fais ainsi :
On démontre que Uk+1 : l Uk+2 - a l < 1/4 l Uk+1 - a l
Alors j'ai fais : l Uk+1 - a l < 1/4 l Uk-a l
j'ai remplacé : l 1/(2+Uk) - 1/(2+a) l < 1/4 l Uk-a l
Ici, je bloque à nouveau. =/. Pourrez -tu m'aider ?