Exercice sur la fonction exponentielle en deux parties

Bonjour tout le monde !

J'ai un exercice qui me pose quelques difficultés, particulièrement pour la 2e partie. L'exercice est le suivant :

Soit g la fonction définie sur $r\mathbb{r}$ par g(x)=x-2+ $e^{2x}+e^{x}$
a- Etudier les variations de g sur $r\mathbb{r}$

$g′(x)=1+e2x+ex>0g'(x)=1+e^{2x}+e^{x}\gt 0$ car $ex>0e^{x}\gt 0$ sur $r\mathbb{r}$ et donc g(x) est strictement croissante sur $r\mathbb{r}$ .

b- Calculer g(0), en déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

g(0)=0-2+1+1=0
Donc g(x) $<0\lt0$ pour $x<0x\lt0$ , g(x) $>0\gt0$ 0 pour $x>0x\gt0$ et g(x)=0 pour x=0.

Dans un repère orthnormé $\vec{i}; \vec{j})$ , on considère le point A(2;-1) et C la courbe représentatrice de la fonction exponentielle.
a- Déterminer la position du point M appartenant à C tel que la distance AM soit minimale
b- Dans ce cas, que peut-on dire de la tangente à C au point M et de la droite AM ?!

Est ce que quelqu'un pourrait m'aider tout du moins à commencer cette deuxième partie ? Merci d'avance.

Shania

Bonjour,

C'est peut-être mieux là...

La dérivée est juste mais à quoi correspond 1 + 4 + 1 ?

g(x)=x-2+ $e^{2x}+e^{x}$

g'(x)=1+4+1=6

1 correspond à la dérivée de x, 4 à la dérivée de $e^{2x}$ et 1 à la dérivée de $e^{x}$ ( la dérivée de -2 est 0 )

Pour calculer les coordonnées du vecteur AM il faudrait calculer en fonction de x et y ?!

La dérivée de $e^{2x}$ est 2 $e^{2x}$
la dérivée de $e^x$ est .....

M(x;y) Ecris les coordonnées du vecteur AM en fonction de x.

$e^{x})' = e^{x}$ ... non?

Oui

$am⃗(xm−2;ym+1)\vec{am}(x_{m}-2;y_{m}+1)$

et

AM= $sqrt{(x_{m}-2)^2+(y_{m}+1)^2}$

Le point M appartient à la courbe C, donc y = ...
et AM =

Ici y= $e^{x}$ ?

Je nage ... :frowning2:

Remplace y par $e^x$ est développe l'expression de AM.

D'accord. La distance obtenue en fonction de x nous donne la distance Pour que AM soit minimale ?

Tu obtiens la distance AM, tu étudies les variations pour déterminer la distance minimale.