Devoir maison - Angles et Trigonométrie

Bonjour, j'ai un devoir maison à rendre mercredi prochain, je l'ai commencé et je bloque sur la suite de cet exercice. Pourriez-vous m'aider, m'expliquer ce qu'il y a à faire ?
Merci beaucoup d'avance.

$fichier math$

Enoncé :

ABCD est un carré tel que $(ad⃗;ab⃗)=π/2(\vec{ad};\vec{ab})= \pi /2$
BIC et CDJ sont des triangles équilatéraux directs.
1°) Dans les triangles isocèles, ADJ, ABI et DCI, donner la mesure principale des angles orientés : $(dj⃗;da⃗)(\vec{dj};\vec{da})$ , $(ba⃗;bi⃗)(\vec{ba};\vec{bi})$ , $(ci⃗;cd⃗)(\vec{ci};\vec{cd})$
En déduire la mesure principale des angles à la base de ces triangles, pris dans le sens direct.
2°)a) Déterminer la mesure principale de $(ia⃗;id⃗)(\vec{ia};\vec{id})$ .
b) En déduire la mesure principale de $(ad⃗;(ai⃗)(\vec{ad};(\vec{ai})$ .
3°) Comparer avec la mesure de $(ad⃗;aj⃗)(\vec{ad};\vec{aj})$ trouvée dans la question 1°
Qu'en déduit-on pour les points A, I et J ?

Exercice :

1°)
Pour $(dj⃗;da⃗)(\vec{dj}; \vec{da})$ :
On sait que $adc^=π/2\hat{adc}= \pi /2$ et $cdj^=π/3\hat{cdj}= \pi /3$
$π/2+π/3=(3π+2π)/6=5π/6\pi /2+\pi /3=(3\pi +2\pi )/6=5\pi /6$
La mesure principale de $(dj⃗;da⃗)(\vec{dj}; \vec{da})$ est de $5π/65\pi /6$

Pour $(ba⃗;bi⃗)(\vec{ba}; \vec{bi})$ :
On sait qu'un angle droit vaut $π/2\pi /2$ et qu'un angle d'un triangle équilatéral vaut $π/3\pi /3$ .
$π/2−π/3=(3π−2π)/6=π/6\pi /2 -\pi /3=(3\pi -2\pi )/6= \pi /6$
La mesure principale de $(ba⃗;bi⃗)(\vec{ba}; \vec{bi})$ est de $π/6\pi /6$ .

Et là je bloque pour la suite de l'exercice, je n'arrive pas à trouver comment faire pour avoir la mesure des angles à la base des triangles, et ce n'est pas faute d'avoir essayer.

Merci pour votre aide

Bonjour,

Pour la question 2) Quelle est la nature du triangle ADJ ?

C'est un triangle isocèle en I

Ma question porte sur le triangle ADJ et non ADI.

Mais ADJ est aussi isocèle donc l'angle (AD,AI)

Je ne suis plus là ...

Le début que j'ai fait est correct ou pas ?

Pouvez-vous m'expliquer tout svp, j'ai beacoup de mal à comprendre

Le triangle ADJ est isocèle et tu connais la mesure de l'angle (DJ, DA) donc tu peux calculer la mesure des deux autres angles.

Tu appliques le même raisonnement pour le triangle ADI.

Donc

On sait que dans le triangle ABI, $b^\hat{b}$ vaut $π/6\pi /6$ car $cba^=π/2\hat{cba}= \pi /2$ et $cbi^=π/3\hat{cbi}= \pi /3$ $(π/2−π/3=π/6)(\pi /2-\pi /3=\pi /6)$ . Or dans un triangle, la somme des trois angles vaut $π\pi$ . Les deux angles à la base sont égaux puisque ABI est un triangle isocèle en B. Donc $(ai⃗;ab⃗)=(ib⃗;ia⃗)(\vec{ai};\vec{ab}) = (\vec{ib};\vec{ia})$ .
Donc $2∗(ai⃗;ab⃗)=π−π/6=6π/6−π/6=5π/62*(\vec{ai};\vec{ab})= \pi-\pi /6=6\pi /6-\pi /6=5\pi /6$ . Et $(ai⃗;ab⃗)=(ib⃗;ia⃗)=(5π/6)/2=(5π/6)/(2/1)=5π/6∗1/2=5π/12(\vec{ai};\vec{ab})=(\vec{ib};\vec{ia})=(5\pi /6)/2=(5\pi /6)/(2/1)=5\pi /6*1/2=5\pi /12$
La mesure principale des angles à la base du triangle ABI est $5π/125\pi /12$

On sait que dans le triangle DCI, $c^\hat{c}$ vaut $π/6\pi /6$ car $dcb^=π/2\hat{dcb} = \pi /2$ et $icb^=π/3\hat{icb} = \pi /3$ $(π/2−π/3=π/6)(\pi /2-\pi /3=\pi /6)$ . Or dans un triangle, la somme des trois angles vaut $π\pi$ . les deux angles à la base sont égaux puisque DCI est un triangle isocèle en C.
Donc $(dc⃗;di⃗)=(id⃗;ic⃗)(\vec{dc};\vec{di}) = (\vec{id};\vec{ic} )$ . Donc $2∗(dc⃗;di⃗)=π−π/6=6π/6−π/6=5π/62*(\vec{dc};\vec{di})= \pi-\pi /6=6\pi /6-\pi /6=5\pi /6$ . Et $(dc⃗;di⃗)=(id⃗;ic⃗)=(5π/6)/2=(5π/6)/(2/1)=5π/6∗1/2=5π/12(\vec{dc};\vec{di})=(\vec{id};\vec{ic})=(5\pi /6)/2=(5\pi /6)/(2/1)=5\pi /6*1/2=5\pi /12$ .
La mesure principale des angles à la base du triangle DCI est $5π/125\pi /12$ .

On sait que dans le triangle ADJ, $d^=5π/6\hat{d}= 5\pi /6$ car $adc^=π/2\hat{adc}= \pi /2$ et $jdc^=π/3\hat{jdc}= \pi /3$ $(π/2+π/3=5π/6)(\pi /2+\pi /3=5\pi /6)$ . Or dans un triangle, la somme des trois angles vaut $π\pi$ . Les deux angles à la base sont égaux puisque ADJ est un triangle isocèle en D.
Donc $(ad⃗;aj⃗)=(ja⃗;jd⃗)(\vec{ad};\vec{aj})=(\vec{ja};\vec{jd})$ . Donc $2∗(ad⃗;aj⃗)=π−5π/6=6π/6−5π/6=π/62*(\vec{ad};\vec{aj})=\pi -5\pi /6=6\pi /6-5\pi /6=\pi /6$ . Et $(ad⃗;aj⃗)=(ja⃗;jd⃗)=(π/6)/2=(π/6)/(2/1)=π/6∗1/2=π/12(\vec{ad};\vec{aj})=(\vec{ja};\vec{jd})=(\pi /6)/2=(\pi /6)/(2/1)=\pi /6*1/2=\pi /12$ .
La mesure principale des angles à la base du triangle ADJ est $π/12\pi /12$ .

Est-ce juste ?
Merci

2°)a)

On sait que dans le triangle IAD, $a^=π/12\hat{a} = \pi /12$ . or dans un triangle, la somme des trois angles vaut $π\pi$ . Les deux angles à la base ( $a^\hat{a}$ et $d^\hat{d}$ ) saont égaux puisque IAD est un triangle ispcèle en I.
Donc $a^=d^=π/12\hat{a}=\hat{d}=\pi /12$ . Donc $π/12∗2=π/6\pi /12*2=\pi /6$ . Donc $π−π/6=6/π6−/π6=5π/6\pi-\pi /6=6/\pi 6-/\pi 6=5\pi /6$
La mesure principale de $(ia⃗;id⃗)(\vec{ia}; \vec{id})$ est $5π/65\pi /6$ .

b)

On a démontrer dans la question 1° que dans le triangle ADJ $a^=π/12\hat{a} = \pi /12$ . donc dans le triangle DAI $a^=π/12\hat{a} = \pi /12$ . Donc la mesure principale de $(ad⃗;ai⃗)(\vec{ad};\vec{ai})$ est $π/12\pi /12$ .

3°)

$(ad⃗;ai⃗)=π/12(\vec{ad};\vec{ai})=\pi /12$
$(ad⃗;aj⃗)=π/12(\vec{ad};\vec{aj})=\pi /12$
Les deux couples de vecteurs sont égaux (ils ont la même mesure principale). On en déduit donc que les points A, I et J sont alignés.

Mon exercice est-il juste depuis le début ?
Merci beaucoup d'avance

As-tu démontré que le triangle IAD est isocèle en I ?