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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
Fin 

exercice sur nombre complexe

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Envoyé: 29.09.2010, 17:05

Constellation


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soit p(x)=zde puissance 4 -3z³ + 9/2z²-3z+1.
montrez que si z∈C est solution de l'équation E: p(z)=0alors conjuqué de z est egalement solution.
2: verifiez que 1+i est solution de E. puis en deduire que P(z) se factorise sous la forme de produit de 2 polynome a coefficiant reel. pui resoudre E.

sil vous plait aider moi je ne comprend pas la premiere question et la deuxieme. MERCI d'avance.
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Envoyé: 29.09.2010, 20:46

Modérateur
Zauctore

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Bonsoir

Pour la première question, les coefficients ont entiers : tu peux donc prendre le conjugué de p(z) et l'application des règles sur le conjugué montrera que \overline{p(z)} = p(\overline{z}).

Ainsi si z est racine, alors p(z) = 0 impliquera que p(z barre) = 0 aussi.
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Envoyé: 30.09.2010, 18:02

Constellation


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si je comprend bien il faut que je calcule le conjugué de z pour la premiere question. est ca? pour la deuxieme je pense qu'il faut calculer p(1+i)=0 mais apres je ne comprend pas. pouvez m'expliquer?
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Envoyé: 01.10.2010, 14:08

Cosmos


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Comme l'a indiqué Zauctore, pour la 1) tu calcules le conjugué de p(z) et tu aboutis progressivement à p(z barre) en utilisant les propriétés des conjugués :

http://upload.wikimedia.org/math/0/f/c/0fc3782c687d31eab93ffb46c1b8c7dd.png

http://upload.wikimedia.org/math/7/3/f/73f6f1d24d40475dea0a401b673f08f5.png

http://upload.wikimedia.org/math/e/7/8/e78db2eab8e001b9e532db36b6041e2b.png n∈ensn

(extrait de wikiversité)

Pour la 2), tu calcules p(1+i)

p(1+i) = (1+i)4 - 3(1+i)³ + (9/2)(1+i)² - 3(1+i) + 1 = ...

tu devrais trouver 0
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Envoyé: 01.10.2010, 18:05

Constellation


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apres pour factoriser p je prend quoi alor?
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Envoyé: 01.10.2010, 18:45

Cosmos


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Si 1+i est solution de p(z)=0 alors p(z) peut se factoriser sous la forme :

Edit : p(z) = [z-(1+i)] q(x)



modifié par : Iron, 03 Oct 2010 - 12:37
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Envoyé: 01.10.2010, 20:45

Constellation


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ok merci
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Envoyé: 02.10.2010, 22:51

Constellation


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desole mais je n'y arrive pas.
Pour le premier, je vois pas comment on calcule le conjugue de z. faut il remplacer z par a+bi.
pour le 2 je ne trouve pas 0 avec 1+i mais je trouve p(1+i)=5-6i.
apres pour le factoriser q(x) est un polynome du second degre ou pas.
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Envoyé: 03.10.2010, 09:17

Constellation


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desole mais je n'y arrive pas.
Pour le premier, je vois pas comment on calcule le conjugue de z. faut il remplacer z par a+bi.
pour le 2 je ne trouve pas 0 avec 1+i mais je trouve p(1+i)=5-6i.
apres pour le factoriser q(x) est un polynome du second degre ou pas.

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Envoyé: 03.10.2010, 10:52

Constellation


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desole mais je n'y arrive pas.
Pour le premier, je vois pas comment on calcule le conjugue de z. faut il remplacer z par a+bi.
pour le 2 je ne trouve pas 0 avec 1+i mais je trouve p(1+i)=5-6i.
apres pour le factoriser q(x) est un polynome du second degre ou pas.

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Envoyé: 03.10.2010, 12:36

Cosmos


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Iron
Si 1+i est solution de p(z)=0 alors p(z) peut se factoriser sous la forme :

p(z) = (1+i) q(x)



C'est parce que je me suis trompé, je rectifie :

Si 1+i est solution de p(z)=0 alors p(z) peut se factoriser sous la forme :

p(z) = [z-(1+i)] q(x)

Désolé !
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Envoyé: 03.10.2010, 12:38

Cosmos


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paulo69
Pour le premier, je vois pas comment on calcule le conjugue de z. faut il remplacer z par a+bi

Non, il faut laisser z
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Envoyé: 03.10.2010, 14:46

Constellation


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donc pour le un je calcule le conjuque de p'z) mais je ny arive pas.
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Envoyé: 03.10.2010, 14:54

Cosmos


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\bar{p(z)}=\bar{z^4 - 3z^3 + \frac{9}{2}z^2-3z+1} = \bar{z^4} - \bar{3z^3} + \bar{\frac{9}{2}z^2}-\bar{3z}+\bar{1} = ...


modifié par : Iron, 03 Oct 2010 - 14:56
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Envoyé: 03.10.2010, 14:59

Constellation


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mais comment on sait le conjugue de 9/2z² sest egal a conbien et els autres aussi?
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Envoyé: 03.10.2010, 15:15

Cosmos


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Il faut utiliser les règles de calcul des conjugués :

http://upload.wikimedia.org/math/0/f/c/0fc3782c687d31eab93ffb46c1b8c7dd.png

http://upload.wikimedia.org/math/7/3/f/73f6f1d24d40475dea0a401b673f08f5.png

http://upload.wikimedia.org/math/e/7/8/e78db2eab8e001b9e532db36b6041e2b.png n∈ensn
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Envoyé: 03.10.2010, 15:21

Cosmos


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\bar{p(z)}=\bar{z^4 - 3z^3 + \frac{9}{2}z^2-3z+1} = \bar{z^4} - \bar{3z^3} + \bar{\frac{9}{2}z^2}-\bar{3z}+\bar{1} = \bar{z}^4 - \bar{3}\bar{z^3} + \bar{(\frac{9}{2})}\bar{z^2}-\bar{3}\bar{z}+\bar{1} = \bar{z}^4 - 3\bar{z}^3 + \frac{9}{2}\bar{z}^2-3\bar{z}+1 = p(\bar{z})

Vérifie que je ne me suis pas trompé avec tous ces "barres" en latex
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