Etudier la nature d'une suite et son sens de variation


  • S

    Bonsoir,
    J'ai un exercice que j'ai trouvé partiellement sauf la dernière question pour laquelle j'aimerais avoir votre aide. Voici l'énoncé et mes réponses :
    On considère la suite (un(u_n(un) définie par son premier terme u0u_0u0=-4 et la relation de récurrence vraie pour tout entier naturel n, un+1u_{n+1}un+1 = 1/2 unu_nun-5/2

    1. La suite (un(u_n(un) est-elle une suite arithmétique ? une suite géométrique ? j'ai trouvé qu'elle était ni l'une, ni l'autre.
    2. Soit a un réel fixé et (vn(v_n(vn) la suite telle que, pour tout entier naturel n, vnv_nvn = unu_nun + a
      a) Calculer vn+1v_{n+1}vn+1 en fonction de vnv_nvn et de a. J'ai trouvé vn+1v_{n+1}vn+1 = 1/2 vnv_nvn +a/2 - 5/2
      b) Peut-on trouver un réel a tel que la suite (vn(v_n(vn) soit une suite arithmétique ? ma réponse est non.
      c) Déterminer une valeur de a pour laquelle la suite (vn(v_n(vn) est une suite géométrique. Ma réponse est 5. Utiliser la valeur de a obtenue précédemment pour calculer unu_nun en fonction de l'entier naturel n. Ma réponse est unu_nun = 5n5^n5n-5
      d) Etudier le sens de variation de la suite (un(u_n(un). J'ai trouvé qu'elle était décroissante et calculer sa limite. Pour la limite, je ne sais pas trop.
      e) Déterminer le plus petit entier naturel k tel que : Si n est un entier et si n≥ k alors d(u^n'-5)≤10−410^{-4}104. Je ne comprends pas du tout ce qu'il faut faire. Pouvez-vous m'aider ? avec mes remerciements

  • kanial
    Modérateurs

    Salut sophie,

    Je ne suis pas d'accord avec toi pour les question c) et d), peux-tu détailler tes calculs pour la question c) ?


  • S

    pour la question c, j'ai mis :

    • si a = 5 ; vn+1v_{n+1}vn+1 = 1/2 vnv_nvn + 5/2 - 5/2
      vn+1v_{n+1}vn+1 =1/2 vnv_nvn ; donc pour a = 5, la suite est géométrique.
      Voilà ce que j'ai trouvé. Merci de me redire si je me trompe.
      Pour la question e, je ne comprends absolument rien. Merci de votre aide.

  • kanial
    Modérateurs

    Oui la suite est géométrique, mais quelle est sa raison ? Que vaut vnv_nvn en fonction de n ?


  • S

    Sa raison est 1/2. Ensuite, j'ai mis v^0 = u^0 + a; v^0 = -4+5= 1
    v^n étant une suite géométrique de raison q, alors v^n = v^0 x q^n
    v^n = 1 X q^n ; v^n = 1 X 1/2^n = 1/2^n donc u^n = 1/2^n - 5
    Ensuite, je viens de trouver :
    (1/2u^n-5) - (1/2^n- 5) = 1/2 ((1/2^n-5)-5) -(1/2^n-5) ce qui fait
    1/4^n-5/2-5/2 -1/2^n+5 = 1/4^n -2/4^n = -1/4^n donc la suite est décroissante. Voilà ce que je trouve après nouvelle réflexion. Est-ce cela ? Merci de me donner votre avis et quelques indices pour la suite


  • kanial
    Modérateurs

    Il y a encore une petite erreur pour unu_nun, regarde bien ! (je suis d'accord pour vnv_nvn).
    Ensuite, attention : 2∗2n2*2^n22n n'est pas égal à 4n4^n4n mais à 2n+12^{n+1}2n+1 !
    Pour la question e), n'as-tu pas fait des fautes de frappe ? Qu'est-ce que d ?


  • S

    Pour u^n, je ne vois pas mon erreur ; u^n = v^n - a donc 1/2^n-5 ; ensuite pour mon calcul, je dois rectifier de cette manière :
    1/2^n+1 -5/2-5/2 -1/2^n+5 =1/2^n+1 - 1/2^n
    Est-ce cela ? et comment je dois faire pour le sens de variation et sa limite ?
    Pour la question e) je n'ai pas fait de faute de frappe ; il s'agit bien de :
    d(u^n'-5)≤10^-4.
    Encore merci pour votre patience à m'aider.


  • kanial
    Modérateurs

    Ah oui excuse-moi c'était juste...
    En fait ce serait plus simple de laisser sous la forme 1/2∗2n1/2*2^n1/22n, comme ça lorsque tu calcules uuu_{n+1}−un-u_nun, tu peux factoriser par 1/2n1/2^n1/2n, ce qui devrait t'aider à trouver le signe !
    pour la limite, quelle est la limite de vnv_nvn ?
    Le '- ne pourrait pas être un + ?


  • S

    Je trouve 1/2^n (1/2-1) = 1/2^n x -1/2 donc la suite serait décroissante
    est-ce cela ? Pour la limite, je ne comprends toujours pas comment faire. Pourquoi faut-il que je me serve de la limite de v^n ? je suis désolée de vous redemander des explications mais je n'arrive pas à trouver.


  • kanial
    Modérateurs

    Il n'y a pas de soucis pour les explications, le forum est fait pour ça !
    Pour la suite décroissante c'est ok ! Pour la limite, ma question était plus quelle est la limite de (1/2)n(1/2)^n(1/2)n quand n tend vers +∞ ?


  • S

    bonjour,
    Pour la limite de u^n, ne faudrait-il pas utiliser le théorème des gendarmes ? et pour la dernière question, avez-vous une idée sur ce d ?
    De quoi s'agit-il ? Merci encore


  • kanial
    Modérateurs

    Non pour la limité de unu_nun, il suffit de savoir quelle est la limite de (1/2)n(1/2)^n(1/2)n quand n tend vers l'infini, je pense que tu dois avoir ça dans ton cours ! (ou au moins la limite de 2n2^n2n)
    Pour la dernière question, pour moi un énoncé correct serait :
    "Déterminer le plus petit entier naturel k tel que : Si n est un entier et si n≥ k alors unu_nun+5≤10−410^{-4}104"
    Mais là le d, je ne vois pas du tout ce que ça peut être...


  • S

    Merci pour toutes vos explications. Bonne soirée.


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