Problème exercice d'intégrale (encore)

Bonjour, c'est (encore) moi...=D
J'ai un exercice où l'intégrale est la suivante: $in=∫021n!(2−x)nexdxin=\int_{0}^{2}{\frac{1}{n!}}(2-x)^{n}e^{x}dx$ .définie pour tout n supérieur ou égal à 1, entier naturel. On s'interesse dans cet exercice à une suite de nombre rationnel qui converge vers e^2

définie pour tout n supérieur ou égal à 1, entier naturel
Dans la 1ère question je devais calculé I1 ce que j'ai fait et j'ai obtenu e^2 -3

mais la question 2 me bloque: montrer que pour tout n supérieur ou égal à 1, entier naturel: $0≤in≤2nn!(e2−1)0\leq in \leq \frac{2^{n}}{n!}(e^{2}-1)$

Je ne vois pas comment démontrer cela...

ah je me doutais qu'il y avait autre chose après ce "I_1"

le fait que ton intégrale soit positive ne fait pas de doute, n'est-ce pas ?

pour majorer cette intégrale, c'est une autre histoire.
regarde un peu cette intégrande (en sortant le 1/n!)

$(2−x)nex(2-x)^n\text{e}^x$
tu as vu que le problème dans l'intégration par partie de I_1 venait du fait que c'est un produit.

ici, pour contourner cette difficulté, on peut essayer de majorer $2-x)^n$ sachant que x est compris entre 0 et 2, autrement dit trouver un majorant M tel que pour tout 0 ≤x ≤ 2 on ait

$(2−x)n≤m(2-x)^n \le m$
ensuite il n'y aura qu'à appliquer le théorème sur la croissance de l'intégrale déjà évoqué ailleurs.

ah je me doutais qu'il y avait autre chose après ce "I_1"

effectivement ^^ je ne voulais pas poser tout l'exercic parce que je pensais m'en sortir apres en fait...de toute évidence non <.<

Alors attendez je relis vos explications et je propose ma réponse!

le fait que ton intégrale soit positive ne fait pas de doute, n'est-ce pas ?

==> sur [0;2] en effet je n'ai pas de doute.

Votre explication est très claire! alors cela me donnerait:

x ∈ [0;2] soit $0≤x≤20\leq x\leq 2$
ou encore $0≥−x≥−20\geq -x\geq -2$

et $2≥−x+2≥02\geq -x+2\geq 0$
qu'on élève à la puissance n: $2n≥(−x+2)n≥02^{n}\geq (-x+2)^{n}\geq 0$

et $1n!2n≥(−x+2)nn!≥0\frac{1}{n!}2^{n}\geq \frac{(-x+2)^{n}}{n!}\geq 0$
$2nn!ex≥(−x+2)nn!ex≥0\frac{2^{n}}{n!}e^{x}\geq \frac{(-x+2)^{n}}{n!}e^{x}\geq 0$

On applique l'intégrale à l'ensemble car ce sont des fonctions continues ;l'intégrale conserve l'ordre soit:
$∫022nn!ex≥∫02(−x+2)nn!ex≥0\int_{0}^{2}{\frac{2^{n}}{n!}e^{x}}\geq \int_{0}^{2}{\frac{(-x+2)^{n}}{n!}e^{x}}\geq 0$

et par définition: $∫022nn!ex≥in≥0\int_{0}^{2}{\frac{2^{n}}{n!}e^{x}}\geq in\geq 0$

or: $∫022nn!ex=2nn!∫02ex=2nn!(e2−e0)=2nn!(e2−1)\int_{0}^{2}{\frac{2^{n}}{n!}e^{x}}=\frac{2^{n}}{n!}\int_{0}^{2}{e^{x}}=\frac{2^{n}}{n!}(e^{2}-e^{0})=\frac{2^{n}}{n!}(e^{2}-1)$

donc on obtient l'expression recherchée: $0≤in≤2nn!(e2−1)0\leq in\leq \frac{2^{n}}{n!}(e^{2}-1)$

est-ce correct?

voilà !

^^ Je vous avoue que sur le coup en voyant votre "voilà" j'étais morte de rire ^^ Ca contraste pas mal avec mon message de 10km de long :razz: Merci pour votre aide si précieuse! Je reviendrais peut être pour les autres questions même si là j'ai fait les 3 suivantes très facilement!

ton travail : clair et limpide.

qu'y ajouter ? j'avais baratiné avant en étant "très clair"

reviens quand tu veux, c'est toujours intéressant de travailler avec toi.

Ca fait chaud au coeur
...eeeeet je reviens plus vite que prévu...après cette question j'ai montré du coup que $in-\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}$
puis par récurrence que: $e2=1+21!+222!+...+2nn!+ine^{2}=1+\frac{2}{1!}+\frac{2^{2}}{2!}+...+\frac{2^{n}}{n!}+in$ .

Et c'est à cette question que je bloque: "On pose pour tout entier naturel n strictement supérieur ou égal à 1, Un= 2^n / n!
Calculer Un+1/ Un et prouver que pour tout entier naturel n strictement supérieur ou égal à 3: $un+1≤12unun+1\leq \frac{1}{2}un$

J'ai: $un+1un=2n+1(n+1)!.n!2n=2n+12n(n+1)\frac{un+1}{un}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)!} . \frac{n!}{2^{n}}= \frac{2^{n+1}}{2^n(n+1)}$

mais je suis bloquée après...ais-je loupé quelque chose? merci d'avance.

[rectification oubli exposant -NdZ]

re !

il reste donc
$2n+1\frac{2}{n+1}$
et il suffit de montrer que cette quantité est moindre qu'1/2 dès lors que n≥3.

Ah effectivement la simplification était toute bête
Donc on a : $2n+1≤12\frac{2}{n+1}\leq \frac{1}{2}$ lorsque n≥3 (car pour n=3 on a 2/4= 1/2 ≤ 1/2)

Ainsi: $un+1un≤12\frac{un+1}{un}\leq \frac{1}{2}$ ou encore: $un+1≤12unun+1\leq \frac{1}{2}un$

Je crois que j'ai vraiment besoin de vos lumières pour cette fin d'exercice.

Dans la question suivante on me dit d'en déduire pour tout n supérieur ou égal à 3:
$0≤un≤u3(12)n−30\leq u_n\leq u_3(\frac{1}{2})^{n-3}$

J'ai commencé une récurrence:
On veut montrer que la proposition Pn est vrai avec Pn
$0≤u3≤u3(12)n−30\leq u_3\leq u_3(\frac{1}{2})^{n-3}$

Initialisation:
On vérifie que P3 est vraie. u3=2²/3! = 4/3 ≥ 0
et u3(1/2)^0 = 4/3 ≥ 4/3 donc on a
$0≤u3≤u3(12)3−30\leq u_3\leq u_3(\frac{1}{2})^{3-3}$ .
Ainsi P3 est vraie.

Hypothèse de récurrence:
On suppose que pour un certain rang n
$0≤u3≤u3(12)n−30\leq u_3\leq u_3(\frac{1}{2})^{n-3}$
est vraie.

Hérédité:
On montre que Pn+1 est vraie:
$0≤un+1≤u3(12)n+1−30\leq u_{n+1}\leq u_3\left(\frac{1}{2}\right)^{n + 1 - 3}$
mais là je suis bloquée..

enfin j'ai écrit que:
$0≤un≤u3(12)n−30\leq u_n\leq u_3(\frac{1}{2})^{n-3}$

on multiplie par 1/2:
$0≤12un≤u3(12)n−20\leq \frac{1}{2}u_n\leq u_3(\frac{1}{2})^{n-2}$

Ainsi par définition:
$0≤un+1≤u3(12)n−20\leq u_{n+1}\leq u_3(\frac{1}{2})^{n-2}$

Donc Un+1 est vraie. Pn étant récurrente, elle est donc vraie.

Est-ce correct? L'hérédité est bonne ?

[diverses rectifications latex + typo - NdZ]

oui c'est bon à condition que tu mettes mieux en évidence le rôle joué par l'inégalité prouvée à 10:55.

note que dans ta conclusion, ce n'est pas "Pn étant récurrente" qu'il faut invoquer. c'est plutôt une assertion dans le genre "en vertu du principe de récurrence, Pn est vraie pour tout n (puisque elle est vraie pour n=3 et que P_n vraie entraine P_{n+1} vraie).

Ah je vois ce que vous voulez dire! j'aurais plutôt:
$0≤un≤u3(12)n−30\leq u_n\leq u_3\left(\frac{1}{2}\right)^{n-3}$
$0≤12un≤u3(12)n−20\leq \frac{1}{2}u_n\leq u_3\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}$

or $un+1≤12unu_{n+1}\leq \frac{1}{2}u_n$
puisque n ≥ 3

donc $0≤un+1≤12un≤u3(12)n−20\leq u_{n+1}\leq \frac{1}{2}u_n\leq u_3\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}$

Donc $0≤un+1≤u3(12)n−20\leq u_{n+1}\leq u_3\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}$

Ainsi P_{n+1} est vraie.

en vertu du principe de récurrence, P_n est vraie pour tout n.

oui

c'est pour tout n ≥3 dans la conclusion

et là c'est bon.

rq : juste un truc pour le latex - tu te débrouilles déjà bien.
les indices sont obtenus avec l'underscore _n éventuellement _{n+1}.

ah oui un deuxième : les grandes parenthèses autour d'une fraction (ou autre) sont obtenus avec \left( \right).

voilà !

C'est noté, merci pour les astuces! :frowning2: Juste après cete question j'ai montré que la limite de un est 0 et celle de In aussi grâce aux théorèmes des gendarmes. Seulement il me reste la question finale:

Justifier enfin que: $e2=lim(1+21!+222!+...+2nn!)e^{2}=lim\left( 1+\frac{2}{1!}+\frac{2^{2}}{2!}+...+\frac{2^{n}}{n!}\right)$
(limite lorsque n tend vers +∞ bien sur)

Je sais qu'il faut utiliser les limites précédentes mais je ne vois pas comment procéder...

tu sais que

$e2=1+21!+222!+...+2nn!+ine^{2}=1+\frac{2}{1!}+\frac{2^{2}}{2!}+...+\frac{2^{n}}{n!}+in$
donc

$e2−(1+21!+222!+...+2nn!)=ine^{2} - \left(1+\frac{2}{1!}+\frac{2^{2}}{2!}+...+\frac{2^{n}}{n!}\right) = in$ .
or... d'où...

rq : pour écrire $lim⁡\lim$ au lieu de $l i m$ en latex, il faut coder \lim

or lim In =0 lorsque n tend vers +∞. Donc $lim⁡e2−lim⁡(1+21!+222!+...+2nn!)=0\lim e^{2}- \lim (1+\frac{2}{1!}+\frac{2^{2}}{2!}+...+\frac{2^{n}}{n!})= 0$ lorsque n tend vers +∞
Donc $lim⁡(1+21!+222!+...+2nn!)=lim⁡e2=e2\lim (1+\frac{2}{1!}+\frac{2^{2}}{2!}+...+\frac{2^{n}}{n!} )=\lim e^{2}= e^{2}$
lorsque n tend vers +∞

Ainsi on a bien: $lim⁡(1+21!+222!+...+2nn!)=e2\lim (1+\frac{2}{1!}+\frac{2^{2}}{2!}+...+\frac{2^{n}}{n!} )= e^{2}$

ou plutôt

$e2−lim⁡(1+21!+222!+...+2nn!)=e2−lim⁡(1+21!+222!+...+2nn!)\lim \left( \text{e}^{2}- \lim \left(1+\frac{2}{1!}+\frac{2^{2}}{2!}+...+\frac{2^{n}}{n!}\right) \right) = \lim \ \text{e}^{2}- \lim \left(1+\frac{2}{1!}+\frac{2^{2}}{2!}+...+\frac{2^{n}}{n!}\right) = \text{e}^{2}- \lim \left(1+\frac{2}{1!}+\frac{2^{2}}{2!}+...+\frac{2^{n}}{n!}\right)$
car e^2 est indépendant de n.

là, c'est bon.

bel exo ! le résultat est intéressant à retenir en TS :

$\fbox{ \text{e}^2 =1+\frac{2}{1!}+\frac{2^{2}}{2!}+ \cdots +\frac{2^{n}}{n!} + \cdots }$

Ca marche! merci pour tout!

je t'en prie !