Après 2 jours de recherches acharnées dans mes cours, je n'arrive pas à
calculer le périmètre et l'aire d'un triangle sachant que j'ai uniquement les médianes
comme indication. J'ai déjà cherché avec le théorème des médianes sans gros succès (recherches plus ou moins hasardeuses). Auriez-vous une astuce pour faire ce calcul?
mais pardon, je voulais juste faire observer le lien entre l'aire du triangle initial ABC d'une part, et d'autre part celle du triangle DEF formé avec les médianes du premier.
ça permet d'avoir une idée du résultat (cela s'appelle conjecturer), ce qui peut éventuellement guider une démonstration ultérieure.
j'ai une démonstration (n'utilisant que des notions très simples) du lien entre les aires des deux triangles, à base de la figure classique :
c'est le triangle A''CG qui donne la réponse.
1° : oh non ! tu as le rapport 3/2 pour les côtés , donc les aires sont dans le rapport 9/4 !!!
(et fais gaffe an sens : quel est le plus "grand", de A''CG ou du tr des médianes ?)
2° : vois-tu que Aire(A''CG) = Aire(BCG) ? ... donc ... ?
oui c'est la 2e approche, très calcul-calcul, que j'évoquais tout-à-l'heure.
la formule de la médiane sous la forme m²_A = b²/2 + c²/2 - a²/4 permet d'écrire 3 équations d'inconnues a², b² et c² : c'est un système que tu dois savoir résoudre.
tu en déduiras a, b et c ; d'où le périmètre de ABC.
si si bien sûr, autant exploiter à fond la figure-clé ci-dessus, en appliquant le théorème de la médiane à CA' dans A''CG (avec à chaque fois les 2/3 des médianes données).
j'ai mentionné à 17:55 la méthode utilisée habituellement sans la figure en question. il me semble que c'est généralement celle qu'on peut trouver sur le net.
Périmètre:
j'ai fais la conjecture, mais problème :
Après avoir utilisé le théorème des médianes (puis multiplié les longueur par 2 comme j'ai dis hier a 18h45)
je trouve BC≈14.56cm AB≈9.486cm AC≈12.569cm
je vérifie avec Héron: la valeur est trop faible . Puis, si je multiplie par 4/3 puis par 3/2 j'ai ≈117.86cm²
moi je t'ai donné les longueurs de ABC (je n'ai pas très envie ni le temps de faire les calculs). je te suggère de procéder avec l'autre approche, que j'ai indiquée le 12.04.2010, à 17:44.
il n'y a pas d'autre solution que celle que je donne pour les côtés du triangle initial (valeurs approchées) :
20,59 cm -- 17,78 cm -- 13,56 cm.
attention : dans la figure, j'ai bêtement marqué Aire ACB = 89.29. ce n'est pas le "ABC" qui t'intéresse ; la réponse est la figure de droite (Aire JHG" = 119.06) - ce sont les notations du logiciel de GeoGebra que je n'ai pas modifiées.
9/4 !!! 
) :
