suite et fonction logarithme

merci de corriger mon exercice cela m'aiderai beaucoup...voici le sujet:

ENONCE

on considère la suite (Un)=(1+1/n)^n pour tout entier naturel n non nul

1) on considère la fonction f(x)=x-ln(1+x) sur [0;+infini[

a)En étudiant les variations de la fonction f, montrer que , pour tout réel positif x ou nul, ln(x+1) est strictement inférieur à x

b) en déduire que, pour tout entier naturel n non nul, ln(Un) est strictement inférieur à 1

c) la suite (Un) peut elle avoir pour limite +infini?

2- on considère la suite (Vn)=ln(Un) pour tout entier naturel n non nul

a) on pose X=1/n, exprimer (Vn) en fonction de X

b)Que vaut lim (ln(1+X))/X quand X tend vers 0? et calculer lim de (Vn)

c)En déduire que la suite (Un) est convergente et déterminer sa limite

REPONSES

Voici se que j'ai trouvé:
pour la question 1-a) je suis sur de moi

1-b) j'ai remplacé ln(1+x) par ln(Un) et j'ai trouver ln(Un)>1 mais je ne suis pas sur qu'il faut faire comme ça

c) la suite (Un) ne peut pas avoir pour limite + infini mais je ne sais pas comment justifier

2-a) j'ai trouvé: (Vn)=ln(1+x)^n

b) j'ai trouvé lim(Vn)=ln e

c) comme (Vn)=ln(Un) et que lim(Vn)=ln e, Vn converge vers ln e donc on peut en déduire que Un converge et sa limite est e

merci de me corriger

pour la 1)b):

on te demande de démontrer que ln(Un)<1 alors que toi tu as dit le contraire.

voici la correction:

on a ln(Un) = ln((1+1/n)^n) = n*ln (1+1/n)

or d'après 1)a) on a ln(1+1/n) <1/n
donc nln(1+1/n)< n1/n = 1

c) On fait l'hypotése que la limite de Un est +infini

alors lim ln(Un) = +infini, ce qui conduit à une absurdité car ln(Un)<1
(et donc la limite de ln(Un) est 1 au maximum)

on en déduit que la limite de Un ne peut pas être +infinie

2)a)
on ta demandé de donne Vn en fonction de X (et non en fonction de n)

ln(Un) = ln((1+1/n)^n) = ln((1+X)^1/X)
= ln(1+X) /X

lim ln(1+X)/X = 0 = lim (vn) quand n tend vers +infinie
parce que n=1/X tend vers +infinie quand X tend vers 0

c) on a vn = ln(Un )
donc lim (vn ) = lim ln(Un) = O
d'ou lim Un = exp(0) = 1 ( tu as bon puisque ln e = 1)

Un est donc convergente vers 1

comprit?