|
|
Envoyé: 04.04.2010, 16:50
|
Constellation
enregistré depuis: avril. 2010
Messages: 44
Status: hors ligne
dernière visite: 16.04.10
|
Bonjour voici mon sujet
On a étudié l'évolution d'une colonie de protozoaires placé dans un milieu limité. on a introduit dans le milieu de culture 200 protozoaires à l'instant t=0. le milieu étant limité, le nombre de protozoaires ne peut croitre indéfiniment. Ce nombre (en centaine),qui dépend du temps exprimé en heure est représenté par un fonction f définie et dérivable sur R+
Pour décrire l'évolution du nombre de protozoaires dans le temps, on utilise le modèle de Vernhulst qui conduit à l'équation logistique (E) y'=(y/2)(1-y/10) qui est vérifié par f sur R+.
1) Déterminer les 2 solutions constantes de (E) (moi j'ai 0 et 10)
2) on suppose que, pour tout t apartenant a R+,f(t)>0 et on pose g la fonction definie sur R+ par g=1/f
a) Démontrer que la fonction f est solution de (E) avec f(0)=2 si g est solution de l'équation y'=-(1/2)y+1/20 avec g(0)=1/2.
b) Donner les solutions de l'équation différentielle: y'=-(1/2)y+1/20
c) En déduire, pour tout t ∈R l'expression des fonctions g et f.
3) Le taux de saturation de la colonie correspond à la lim de f en +infini. Quel est ce taux.
4) Determiner l'instant t ou la population de protozoaires sera = à 500
5) Au bout de combien de temps la colonie de protozoaires dépassera 95% de sont taux de saturation?
merci d'avance
modifié par : devilflo05, 04 Avr 2010 - 18:15
|
|
|
|
| |
|
|
|
Envoyé: 04.04.2010, 17:01
|
Modératrice
enregistré depuis: janv.. 2009
Messages: 15343
Status: hors ligne
dernière visite: 08.02.12
|
Bonjour,
La question 1) est juste.
Pour la 2), le début semble incomplet f(0) = 2g ?
a) Calcule g' puis remplace dans l'équation différentielle f' et f par leur expression en fonction de g et g'.
b) Résous l'équation différentielle.
|
|
|
|
|
|
|
Envoyé: 04.04.2010, 17:17
|
Constellation
enregistré depuis: avril. 2010
Messages: 44
Status: hors ligne
dernière visite: 16.04.10
|
non désolé c'est f0=2
|
|
|
|
|
|
|
Envoyé: 04.04.2010, 17:25
|
Modératrice
enregistré depuis: janv.. 2009
Messages: 15343
Status: hors ligne
dernière visite: 08.02.12
|
Tu as calculé f' en fonction de g ?
|
|
|
|
|
|
|
Envoyé: 04.04.2010, 17:37
|
Constellation
enregistré depuis: avril. 2010
Messages: 44
Status: hors ligne
dernière visite: 16.04.10
|
f'=(1/g)'=g'/g² ?
|
|
|
|
|
|
|
Envoyé: 04.04.2010, 17:41
|
Constellation
enregistré depuis: avril. 2010
Messages: 44
Status: hors ligne
dernière visite: 16.04.10
|
-g'/g²
|
|
|
|
|
|
|
Envoyé: 04.04.2010, 17:41
|
Modératrice
enregistré depuis: janv.. 2009
Messages: 15343
Status: hors ligne
dernière visite: 08.02.12
|
Il manque un moins !
f'=(1/g)'= - g'/g²
Remplace f' et f en fonction de g dans l'équation (E).
|
|
|
|
|
|
|
Envoyé: 04.04.2010, 17:46
|
Constellation
enregistré depuis: avril. 2010
Messages: 44
Status: hors ligne
dernière visite: 16.04.10
|
-g'/g²=(1/2g)(1-(1/10g)) ?
modifié par : devilflo05, 04 Avr 2010 - 17:49
|
|
|
|
|
|
|
Envoyé: 04.04.2010, 17:49
|
Constellation
enregistré depuis: avril. 2010
Messages: 44
Status: hors ligne
dernière visite: 16.04.10
|
g'=((1/2g)(1-(1/10g)))/-g²
|
|
|
|
|
|
|
Envoyé: 04.04.2010, 17:54
|
Modératrice
enregistré depuis: janv.. 2009
Messages: 15343
Status: hors ligne
dernière visite: 08.02.12
|
Oui
-g'/g²=(1/2g)(1-(1/10g))
Tu multiplies par -g²
g' = ....
modifié par : Noemi, 04 Avr 2010 - 17:55
|
|
|
|
|
|
|
Envoyé: 04.04.2010, 17:57
|
Constellation
enregistré depuis: avril. 2010
Messages: 44
Status: hors ligne
dernière visite: 16.04.10
|
multiplie ou divise ?
|
|
|
|
|
|
|
Envoyé: 04.04.2010, 17:59
|
Modératrice
enregistré depuis: janv.. 2009
Messages: 15343
Status: hors ligne
dernière visite: 08.02.12
|
Multiplier.
|
|
|
|
|
|
|
Envoyé: 04.04.2010, 18:07
|
Constellation
enregistré depuis: avril. 2010
Messages: 44
Status: hors ligne
dernière visite: 16.04.10
|
g'=-g/2+1/20 ?
|
|
|
|
|
|
|
Envoyé: 04.04.2010, 18:10
|
Modératrice
enregistré depuis: janv.. 2009
Messages: 15343
Status: hors ligne
dernière visite: 08.02.12
|
Oui,
Calcule g(0)
Puis passe à la question b) la résolution de l'équation différentielle.
puis c) écriture des fonctions.
|
|
|
|
|
|
|
Envoyé: 04.04.2010, 18:17
|
Constellation
enregistré depuis: avril. 2010
Messages: 44
Status: hors ligne
dernière visite: 16.04.10
|
j'avais fait une erreur dans le sujet, sa change quelque chose ?
|
|
|
|
|
|
|
Envoyé: 04.04.2010, 18:25
|
Modératrice
enregistré depuis: janv.. 2009
Messages: 15343
Status: hors ligne
dernière visite: 08.02.12
|
Une erreur ou ? pas de problème si c'est à la question 2) a).
|
|
|
|
|
|
|
Envoyé: 04.04.2010, 18:29
|
Constellation
enregistré depuis: avril. 2010
Messages: 44
Status: hors ligne
dernière visite: 16.04.10
|
ok je vois pas le cheminement qu'il faut pour arrivé au résultat
|
|
|
|
|
|
|
Envoyé: 04.04.2010, 18:31
|
Modératrice
enregistré depuis: janv.. 2009
Messages: 15343
Status: hors ligne
dernière visite: 08.02.12
|
g = 1/f,
soit g(0) = 1/f(0)
donc
....
|
|
|
|
|
|
|
Envoyé: 04.04.2010, 18:38
|
Constellation
enregistré depuis: avril. 2010
Messages: 44
Status: hors ligne
dernière visite: 16.04.10
|
g0= 1/2
|
|
|
|
|
|
|
Envoyé: 04.04.2010, 18:54
|
Modératrice
enregistré depuis: janv.. 2009
Messages: 15343
Status: hors ligne
dernière visite: 08.02.12
|
Oui pour g(0).
|
|
|
|
|
|
|
Envoyé: 04.04.2010, 18:57
|
Constellation
enregistré depuis: avril. 2010
Messages: 44
Status: hors ligne
dernière visite: 16.04.10
|
et ensuite j'en sais rien
|
|
|
|
|
|
|
Envoyé: 04.04.2010, 20:20
|
Modératrice
enregistré depuis: janv.. 2009
Messages: 15343
Status: hors ligne
dernière visite: 08.02.12
|
Question 2) b)
Résous y' +y/2 = 0, en utilisant ton cours.
|
|
|
|
|
