J'y arrive, je sais comment faire pour faire cet exerccie, j'ai d'ailleur utilisé la méthode de Cauchy.
Mais je suis arrivé à un moment où je n'arrive pas à simplifier mon écriture pour étudier mes variations. Et cela m'arrive 3 fois dans l'exercice (les questions sont les mêmes mais indépendantes pour chaque suite).
Voici l'énoncé:
Etudier les variations des suites suivantes :
1) Un = 3^n + 1
On utilise la méthode de Cauchy :
Un+1 - Un = (3^n+1 + 1) - (3^n +1)
= 3^n+1 + 1 - 3^n -1
= 3^n+1 - 3^n
= 3^n × 3^1 - 3^n × 3^1
= 3^n (3-1)
Mais là je suis bloquée... Est-ce encore possible de simplifier l'écriture ?
D'accord, j'ai compris pour le 1). Merci, je vais ensuite étudier les variations.
2) = (0.3)^n × 0.3^1 ×( n+1) - (0.3)^n × n
On développe :
= (0.3)^n × 0.3^1 × n +(0.3)^1 - (0.3)^n × n
= (0.3)^n × (0.3n + 0.3 - 0.3^n² ) ??
Je n'arrive pas à simplifier, je ne m'en sort pas avec ces 0.3... Comment etes-vous passé à :
=(0.3)^n × 0.3^1 × n +(0.3)^n × 0.3^1 - (0.3)^n × n
1) Etude de variations de (Un) :
on sait que Un+1 - Un =
Or n ∈ N donc n≥0 donc 3^n ≥ 0
donc : Un+1 - Un > 0 pour tout n de N donc la suite (Un) est croissante sur N (tableau de signes ?)
[(0.3)^n × 0.3^1] ×( n+1) - (0.3)^n × n
=(0.3)^n × 0.3^1 × n +(0.3)^n × 0.3^1 - (0.3)^n × n
car A(n+1) = A×n + A×1
ensuite tu as trois termes, tu mets (0,3)^n en facteur
3) = 0.3^n × 0.3 - 0.3^n×1
= 0,3^n ( 0.3 + 1) non
c'est (0,3)^n (0,3 - 1) et (0,3 - 1) = .....
=
Or n ∈ N donc n≥0 donc (0.3)^n ≥ 0 mais (-0.7) < 0.
donc : Un+1 - Un < 0 pour tout n de N donc la suite (Un) est décoissante sur N .
Est-il nécessaire de faire un tableau de signes pour justifier ou pas ?
Or n ∈ N donc n≥0 donc (0.3)^n ≥ 0 mais (-0.7n) < 0. Donc (-0.7n +0.3) < 0.
donc : Un+1 - Un < 0 pour tout n de N donc la suite (Un) est décoissante sur N .
je ferais donc un tableau pour montrer que le signe reste négatif.
Ah d'accord je dis : On étudie les variations de (Vn) :
On sait que Vn+1 - Vn = (0,3)^n (-0.7n + 0.3)
Or n ∈ N donc n=0 donc (0.3)^n = 0 et (-0.7n) = 0. Donc (-0.7n +0.3) > 0.
donc : Un+1 - Un > 0 pour tout n de N donc la suite (Un) est décoissante sur N .
Pareil pour n ≥1, (-0.7n +0.3) ≤ 0 ?
Comment le démontrer que c'est à partir de 1 ? Parce que je n'ai pas le droit non de le montrer avec un exemple ?
Je reprend du début. On étudie les variations de (Vn) :
On sait que Vn+1 - Vn = (0,3)^n (-0.7n + 0.3)
On sait que n ∈ N donc si n=0 alors (0.3)^n = 1 et (-0.7n) = 0. Donc (-0.7n +0.3) = 0,3. Donc : V1 - V0 > 0.
Donc : Un+1 - Un > 0 pour tout n de N donc la suite (Un) est croissante sur N .
Or, si n ≥1, alors (0.3)^n>0 et (-0.7n) <-0,7. et (-0.7n +0.3) ≤ 0 .
Donc : Vn+1 - Vn < 0 donc la suite (Vn) est décroissante pour n ≥ 1.
Pourquoi est-ce qu'on parle de V1 et V0 ? Parce qu'on remplace par 1 et 0 c'est ça ? Mais on fait la même chose ensuite, pourquoi est-qu'on conclue Vn+1 - Vn < 0 ?
On sait que n ∈ N donc si n=0 alors (0.3)^n = 1 et (-0.7n) = 0. Donc (-0.7n +0.3) = 0,3. Donc : V1 - V0 > 0.
une erreur
Donc : Vn+1 - Vn > 0 pour tout n =0 donc la suite V0,V1 est croissante.
V0 = 0 et V1 = 0,3
Si on reprend du début, on a, comme étude de variations de (Vn) :
On sait que Vn+1 - Vn = (0,3)^n (-0.7n + 0.3)
On sait que n ∈ N donc si n=0 alors (0.3)^n = 1 et (-0.7n) = 0. Donc (-0.7n +0.3) = 0,3. Donc : V1 - V0 > 0.
Donc : Vn+1 - Vn > 0 pour tout n de N donc la suite (Vn) est croissante sur N pur tout n=0.
Or, si n ≥1, alors (0.3)^n>0 et (-0.7n) <-0,7. et [b](-0.7n +0.3) ≤ -0.4[/b] [b]??[/b]
Donc : Vn+1 - Vn < 0 donc la suite (Vn) est décroissante pour n ≥ 1.
Pourquoi est-ce qu'on parle de V1 et V0 ? Parce qu'on remplace par 1 et 0 c'est ça ? Mais on fait la même chose ensuite, pourquoi est-qu'on conclue Vn+1 - Vn < 0 ?
