Etudier les variations de suites


  • T

    Bonjour, j'ai un exercice à faire sur les suites.

    J'y arrive, je sais comment faire pour faire cet exerccie, j'ai d'ailleur utilisé la méthode de Cauchy.
    Mais je suis arrivé à un moment où je n'arrive pas à simplifier mon écriture pour étudier mes variations. Et cela m'arrive 3 fois dans l'exercice (les questions sont les mêmes mais indépendantes pour chaque suite).

    Voici l'énoncé:

    Etudier les variations des suites suivantes :

    **1)**Un = 3^n + 1
    On utilise la méthode de Cauchy :
    Un+1 - Un = (3^n+1 + 1) - (3^n +1)
    = 3^n+1 + 1 - 3^n -1
    = 3^n+1 - 3^n
    = 3^n × 3^1 - 3^n × 3^1
    = 3^n (3-1)

    Mais là je suis bloquée... Est-ce encore possible de simplifier l'écriture ?

    **2)**Vn = (0.3)^n × n
    Méthode de Cauchy :
    Vn+1 - Vn = (0.3^n+1 × n+1) - (0.3^n × n)
    = (0.3^n × 0.3^1 × n+1) - (0.3^n × n)
    = 0.3^n × 0.3 × n+1) - 0.3^n × n
    = 0.3 × (n+1) × n

    Est-ce qu'il est possible de simplifier . Est-ce que je peux barrer (enlever) les "0.3^n" et ensuite factoriser par n ?

    **3)**Wn = 0.3^n + 1
    Méthode de Cauchy :
    Wn+1 - Wn = (0.3^n+1 +1 ) - (0.3^n + 1 )
    = 0.3^n+1 +1 -0.3^n -1
    = 0.3^n+1 - 0.3^n
    = 0.3^n × 0.3 - 0.3^n

    Et là est-ce que je peux dire que c'est égal à 0.3^1 soit 0.3 car les 0.3^n s'en vont (s'annulent) ?

    Merci beaucoup de votre aide. :rolling_eyes:


  • N
    Modérateurs

    Bonjour,

    dans tous les cas, mets en facteur : 3^n ou (0,3)^n

    Pour le premier 3^n (3-1) = 3^n× 2


  • T

    Merci de votre aide !!

    1. Un = 3^n + 1
      On utilise la méthode de Cauchy :
      Un+1 - Un = (3^n+1 + 1) - (3^n +1)
      = 3^n+1 + 1 - 3^n -1
      = 3^n+1 - 3^n
      = 3^n × 3^1 - 3^n × 3^1
      = 3^n (3-1)
      = 3^n × 2

    Je ne saisi pas comment est-ce que l'on passe à ce résultat : quelle est l'étape intermédiaire ?

    1. Vn = (0.3)^n × n
      Méthode de Cauchy :
      Vn+1 - Vn = (0.3^n+1 × n+1) - (0.3^n × n)
      = (0.3^n × 0.3^1 × n+1) - (0.3^n × n)
      = 0.3^n × 0.3 × n+1) - 0.3^n × n
      = 0.3 × (n+1) × n
      = 0.3n × (n+1) ?
      Et je développe ?

    2. Wn = 0.3^n + 1
      Méthode de Cauchy :
      Wn+1 - Wn = (0.3^n+1 +1 ) - (0.3^n + 1 )
      = 0.3^n+1 +1 -0.3^n -1
      = 0.3^n+1 - 0.3^n
      = 0.3^n × 0.3 - 0.3^n

    Le 0.3^n peut-il s'annuler ?


  • N
    Modérateurs

    Titboudchou15
    Merci de votre aide !!

    1. Un = 3^n + 1
      On utilise la méthode de Cauchy :
      Un+1 - Un = (3^n+1 + 1) - (3^n +1)
      = 3^n+1 + 1 - 3^n -1
      = 3^n+1 - 3^n
      = 3^n × 3^1 - 3^n × 3^1

    Erreur
    = 3^n+1 - 3^n
    = 3^n × 3^1 - 3^n × 1
    = 3^n (3-1) et 3 - 1 = 2 donc
    = 3^n × 2

    Titboudchou15

    1. Vn = (0.3)^n × n
      Méthode de Cauchy :
      Vn+1 - Vn = (0.3)^n+1 ×( n+1) - (0.3)^n × n
      = (0.3)^n × 0.3^1 ×( n+1) - (0.3)^n × n

    =(0.3)^n × 0.3^1 × n +(0.3)^n × 0.3^1 - (0.3)^n × n
    = (0,3)^n ( ........)

    Titboudchou15

    1. Wn = 0.3^n + 1
      Méthode de Cauchy :
      Wn+1 - Wn = (0.3)^n+1 +1 - ((0.3)^n + 1 )
      = 0.3^n+1 +1 -0.3^n -1
      = 0.3^n+1 - 0.3^n
      = 0.3^n × 0.3 - 0.3^n×1

    = 0,3^n ( .....)


  • T

    D'accord, j'ai compris pour le 1). Merci, je vais ensuite étudier les variations.

    1. = (0.3)^n × 0.3^1 ×( n+1) - (0.3)^n × n
      On développe :
      = (0.3)^n × 0.3^1 × n +(0.3)^1 - (0.3)^n × n
      = (0.3)^n × (0.3n + 0.3 - 0.3^n² ) ??
      Je n'arrive pas à simplifier, je ne m'en sort pas avec ces 0.3... Comment etes-vous passé à :
      =(0.3)^n × 0.3^1 × n +(0.3)^n × 0.3^1 - (0.3)^n × n

    2. = 0.3^n × 0.3 - 0.3^n×1
      = 0,3^n ( 0.3 + 1) ?


  • T

    1. Etude de variations de (Un) :
      on sait que Un+1 - Un = 3n+1×23 ^{n+1} \times 23n+1×2
      Or n ∈ N donc n≥0 donc 3^n ≥ 0
      donc : Un+1 - Un > 0 pour tout n de N donc la suite (Un) est croissante sur N (tableau de signes ?)

  • N
    Modérateurs

    [(0.3)^n × 0.3^1] ×( n+1) - (0.3)^n × n
    =(0.3)^n × 0.3^1 × n +(0.3)^n × 0.3^1 - (0.3)^n × n
    car A(n+1) = A×n + A×1
    ensuite tu as trois termes, tu mets (0,3)^n en facteur

    1. = 0.3^n × 0.3 - 0.3^n×1
      = 0,3^n ( 0.3 + 1) non
      c'est (0,3)^n (0,3 - 1) et (0,3 - 1) = .....
      =

  • N
    Modérateurs

    Les variations pour la première suite sont justes.


  • T

    Noemi
    [(0.3)^n × 0.3^1] ×( n+1) - (0.3)^n × n
    =(0.3)^n × 0.3^1 × n +(0.3)^n × 0.3^1 - (0.3)^n × n

    Je ne comprens pas ce qui est en gras. Commenta-t'on ce n ?


  • T

    Noemi

    1. = 0.3^n × 0.3 - 0.3^n×1
      = 0,3^n ( 0.3 + 1) non
      c'est et (0,3 - 1) = .....
      =

    Donc : = 0.3^n × 0.3 - 0.3^n×1
    =(0,3)^n (0,3 - 1)
    et (0,3 - 1) = -0.7
    donc :
    =(0,3)^n × (-0.7)


  • N
    Modérateurs

    [(0.3)^n × 0.3^1] ×( n+1) - (0.3)^n × n

    je reprends la forme initiale
    (0.3)^(n+1) ×( n+1) - (0.3)^n × n
    = (0,3)^(n+1) × n + (0,3)^(n+1)x 1 - (0.3)^n × n
    = ...


  • N
    Modérateurs

    Titboudchou15
    Noemi

    1. = 0.3^n × 0.3 - 0.3^n×1
      = 0,3^n ( 0.3 + 1) non
      c'est et (0,3 - 1) = .....
      =

    Donc : = 0.3^n × 0.3 - 0.3^n×1
    =(0,3)^n (0,3 - 1)
    et (0,3 - 1) = -0.7
    donc :
    =(0,3)^n × (-0.7)

    C'est juste.


  • T

    Noemi
    [(0.3)^n × 0.3^1] ×( n+1) - (0.3)^n × n
    =(0.3)^n × 0.3^1 × n +(0.3)^n × 0.3^1 - (0.3)^n × n
    car A(n+1) = A×n + A×1
    ensuite tu as trois termes, tu mets (0,3)^n en facteur

    Donc, je dois faire :
    =(0.3)^n × 0.3^1 × n +(0.3)^n × 0.3^1 - (0.3)^n × n
    = 0.3^n × 0.3 × n +(0.3)^n × 0.3 - (0.3)^n × n
    =0.3^n (0.3n + 0.3 - n)

    C'est ça ?


  • N
    Modérateurs

    C'est correct, simplifie la parenthèse.


  • T

    Pour la 3), j'étudie les variations de (Wn) :

    On sait que Un+1 - Un = (0,3)^n × (-0.7)

    Or n ∈ N donc n≥0 donc (0.3)^n ≥ 0 mais (-0.7) < 0.
    donc : Un+1 - Un < 0 pour tout n de N donc la suite (Un) est décoissante sur N .
    Est-il nécessaire de faire un tableau de signes pour justifier ou pas ?


  • T

    Citation
    Donc, je dois faire :
    =(0.3)^n × 0.3^1 × n +(0.3)^n × 0.3^1 - (0.3)^n × n
    = 0.3^n × 0.3 × n +(0.3)^n × 0.3 - (0.3)^n × n
    =0.3^n (0.3n + 0.3 - n)

    Donc en simplifiant on a :

    = 0.3^n (0.3n + 0.3 - n)
    = 0.3^n (0.3n + 0.3 - n)
    = 0.3^n (-0.7n + 0.3)

    Peut-on développer ? On aurait :
    =0.3^n (0.3n + 0.3 - n)
    = 0.09^n² + 0.09n - 0.3n² ??


  • N
    Modérateurs

    Il n'est pas nécessaire de faire un tableau de signes, tes explications sont suffisantes.

    Pour le dernier (le 2) ne développe pas, étudie le signe du terme entre parenthèse.
    Eventuellement pour celui-ci tu peux faire un tableau de signes.


  • T

    Donc en simplifiant on a :

    = 0.3^n (0.3n + 0.3 - n)
    = 0.3^n (0.3n + 0.3 - n)
    = 0.3^n (-0.7n + 0.3)

    On étudie les variations de (Vn) :

    On sait que Vn+1 - Vn = (0,3)^n (-0.7n + 0.3)

    Or n ∈ N donc n≥0 donc (0.3)^n ≥ 0 mais (-0.7n) < 0. Donc (-0.7n +0.3) < 0.
    donc : Un+1 - Un < 0 pour tout n de N donc la suite (Un) est décoissante sur N .
    je ferais donc un tableau pour montrer que le signe reste négatif.


  • N
    Modérateurs

    On sait que Vn+1 - Vn = (0,3)^n (-0.7n + 0.3)

    Or n ∈ N donc n≥0 donc (0.3)^n ≥ 0 mais (-0.7n) < 0.
    Donc (-0.7n +0.3) < 0. faux et si n = 0 ??


  • T

    Dans ce cas il faudrait mettre : (-0.7n +0.3) ≤ 0, non ?


  • N
    Modérateurs

    Si n= 0, (-0.7n +0.3) > 0
    si n ≥1, (-0.7n +0.3) ≤ 0


  • T

    Mais alors comment le justifier ?
    Cela veut dire que 0 est une valeur interdite ? Je dois faire un tableau de signe avec 0 comme valeur interdite ?


  • N
    Modérateurs

    Non, pas de valeur interdite, tu indiques que la suite est décroissante à partir de n = 1.


  • T

    Ah d'accord je dis : On étudie les variations de (Vn) :

    On sait que Vn+1 - Vn = (0,3)^n (-0.7n + 0.3)

    Or n ∈ N donc n=0 donc (0.3)^n = 0 et (-0.7n) = 0. Donc (-0.7n +0.3) > 0.
    donc : Un+1 - Un > 0 pour tout n de N donc la suite (Un) est décoissante sur N .

    Pareil pour n ≥1, (-0.7n +0.3) ≤ 0 ?
    Comment le démontrer que c'est à partir de 1 ? Parce que je n'ai pas le droit non de le montrer avec un exemple ?


  • N
    Modérateurs

    Titboudchou15
    On étudie les variations de (Vn) :

    On sait que Vn+1 - Vn = (0,3)^n (-0.7n + 0.3)

    Or n ∈ N donc n=0 donc (0.3)^n = 0 et (-0.7n) = 0. Donc (-0.7n +0.3) > 0.

    Attention :
    Si n = 0; (0.3)^n = 1 et (-0.7n) = 0. et (-0.7n +0.3) = 0,3
    donc : V1 - V0 > 0.

    pour n ≥1, (0.3)^n >0 et (-0.7n) <-0,7. et (-0.7n +0.3) ≤ 0 ?
    donc : Vn+1 - Vn < 0 donc la suite (Vn) est décroissante pour n ≥ 1.


  • T

    Ah d'accord. Mais pour le tableau de signe, je mets 1 alors ?


  • N
    Modérateurs

    Tu ne fais pas de tableau de signes.


  • T

    Je reprend du début. On étudie les variations de (Vn) :

    On sait que Vn+1 - Vn = (0,3)^n (-0.7n + 0.3)

    On sait que n ∈ N donc si n=0 alors (0.3)^n = 1 et (-0.7n) = 0. Donc (-0.7n +0.3) = 0,3. Donc : V1 - V0 > 0.
    Donc : Un+1 - Un > 0 pour tout n de N donc la suite (Un) est croissante sur N .

    Or, si n ≥1, alors (0.3)^n>0 et (-0.7n) <-0,7. et (-0.7n +0.3) ≤ 0 .
    Donc : Vn+1 - Vn < 0 donc la suite (Vn) est décroissante pour n ≥ 1.

    Pourquoi est-ce qu'on parle de V1 et V0 ? Parce qu'on remplace par 1 et 0 c'est ça ? Mais on fait la même chose ensuite, pourquoi est-qu'on conclue Vn+1 - Vn < 0 ?


  • T

    Noemi
    Tu ne fais pas de tableau de signes.

    D'accord, j'hésitais.


  • N
    Modérateurs

    On sait que n ∈ N donc si n=0 alors (0.3)^n = 1 et (-0.7n) = 0. Donc (-0.7n +0.3) = 0,3. Donc : V1 - V0 > 0.
    une erreur
    Donc : Vn+1 - Vn > 0 pour tout n =0 donc la suite V0,V1 est croissante.
    V0 = 0 et V1 = 0,3

    ensuite V2, V3 ,.... Vn sont < V1


  • T

    Pourquoi V2, V3 ,.... Vn sont < V1 ?


  • N
    Modérateurs

    Tu as démontré que la suite était décroissante à partir de V1 donc tous les termes qui suivent sont plus petit que V1.


  • T

    Si on reprend du début, on a, comme étude de variations de (Vn) :

    On sait que Vn+1 - Vn = (0,3)^n (-0.7n + 0.3)

    On sait que n ∈ N donc si n=0 alors (0.3)^n = 1 et (-0.7n) = 0. Donc (-0.7n +0.3) = 0,3. Donc : V1 - V0 > 0.
    Donc : Vn+1 - Vn > 0 pour tout n de N donc la suite (Vn) est croissante sur N pur tout n=0.

    Or, si n ≥1, alors (0.3)^n>0 et (-0.7n) <-0,7. et (-0.7n +0.3) ≤ -0.4 ??
    Donc : Vn+1 - Vn < 0 donc la suite (Vn) est décroissante pour n ≥ 1.

    Pourquoi est-ce qu'on parle de V1 et V0 ? Parce qu'on remplace par 1 et 0 c'est ça ? Mais on fait la même chose ensuite, pourquoi est-qu'on conclue Vn+1 - Vn < 0 ?


  • T

    Ah oui, c'est vrai, désolée. Je m'embrouille là où il n'y a aucun problème finalement...


  • T

    Titboudchou15
    Si on reprend du début, on a, comme étude de variations de (Vn) :

    On sait que Vn+1 - Vn = (0,3)^n (-0.7n + 0.3)

    On sait que n ∈ N donc si n=0 alors (0.3)^n = 1 et (-0.7n) = 0. Donc (-0.7n +0.3) = 0,3. Donc : V1 - V0 > 0.
    Donc : Vn+1 - Vn > 0 pour tout n de N donc la suite (Vn) est croissante sur N pur tout n=0.

    Or, si n ≥1, alors (0.3)^n>0 et (-0.7n) <-0,7. et (-0.7n +0.3) ≤ -0.4 ??
    Donc : Vn+1 - Vn < 0 donc la suite (Vn) est décroissante pour n ≥ 1.

    Pourquoi est-ce qu'on parle de V1 et V0 ? Parce qu'on remplace par 1 et 0 c'est ça ? Mais on fait la même chose ensuite, pourquoi est-qu'on conclue Vn+1 - Vn < 0 ?


  • N
    Modérateurs

    Seule cette phrase pose problème,
    Donc : Vn+1 - Vn > 0 pour tout n de N donc la suite (Vn) est croissante sur N pur tout n=0.

    Tu ne peux pas écrire pour tout n de N car la relation est vérifiée que pour n = 0.


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