Aire maximale (fonctions)

Je suis en train d'essayer de résoudre un exercice, et là je bloque :
On considère un triangle ABC rectangle en B et tel qe : AB = 4 cm et BC = 8cm.
Un point F représente la position d'une fourmi qui se déplace sur le segment [AC] sans atteindre les points A et C. Le point F se projette orthogonalement en M sur le segment [AB] et en P sur le segment [BC].

1)Déterminer la valeur exacte de AC et l'aire du triangle ABC

Voici ce que j'ai fais :
Dans le triangle ABC rectangle en B , on a d'après le théorème de Pythagore : AC² = AB² + BC²
= 4² + 8²
= 80
AC = √80
Aire de ABC = (Ll)/2
= (48)/2
= 32/2
= 16 cm²

2)On note x la longueur AM
a)Démontrer que MF = 2x

Je ne sais pas comment m'y prendre

b)Démontrer que l'aire du rectangle MFPB est égale à 2x(4-x)

Voici ce que j'ai fais
Aire d'un rectangle = L * l
L = MF = 2x et l=MB=4-x
D'où Aire de MFPB = 2x(4-x)

c)Démontrer que cette dernière expression est aussi égale à 8-2(x-2)²
8 -2(x-2)² = 8-2(x² -4x +4)
= 8 -2x² + 8x -8
= -2x² +8x
Donc 8-2(x-2)² = 2x(4-x)

En déduire que l'aire du rectangle MFPB est toujours égale à 8
Là aussi je ne sais pas comment m'y prendre

d)Pour quelle valeur de x l'aire du rectangle MFPB est-elle maximale ?

Si vous pouviez vérifier mes raisonnements et m'aider à avancer aux question que je n'ai pas su résoudre

Merci d'avance

salut

C'est Thalès qui résoudra ton pb de MF=2x.

Citation
En déduire que l'aire du rectangle MFPB est toujours égale à 8
ce ne serait pas plutôt "En déduire que l'aire du rectangle MFPB est toujours inférieure ou égale à 8 ?" auquel cas c'est clair avec 8 -(...)².

Oui, je suis désolé la question est plutôt "En déduire que l'aire du rectangle MFPB est toujours inférieure ou égale à 8?"

Donc pour démontrer MF=2x ; j'ai réussi à le faire

Mais pour la c)En déduire que l'aire du rectangle MFPB est toujours inférieure ou égale à 8. : je n'ai pas compris quelle astuce utiliser.

re.

l'aire est 8-2(x-2)²

i.e. dans 8, tu enlèves 2(x-2)² qui est positif : l'aire est donc moindre que 8.

√d)Pour quelle valeur de x l'aire du rectangle MFPB est-elle maximale ?

Ici je pense qu'il faut résoudre une équation :
En effet, étant donné que l'aire est forcemment plus petite que 8, ceci veut dire qu'elle vaut au maximum 8 , donc que :
8 - 2(x-2)² = 8
-2(x-2)² = 0
(x-2)² = 2
x-2 = √2 ou x-2 = -√2
x = √2 + 2 x = -√2 +2
Sauf qu'on travail ici avec des longueur, donc on peut se passer de :
x = -√2 + 2

Ce qui nous donne : Pour x = √2 + 2 ; l'aire est au maximum

Qu'en pensez-vous ?

Merci d'avance

Y a-t'il quelqu'un qui pourrait vérifier mon raisonnement.

Merci d'avance

re.
nassi
Ici je pense qu'il faut résoudre une équation :
En effet, étant donné que l'aire est forcemment plus petite que 8, ceci veut dire qu'elle vaut au maximum 8 , donc que :

là tu as de la chance.
en effet, on pourrait tout aussi bien écrire que l'aire est plus petite que 10 (puisqu'elle est moindre que sans pour autant qu'elle puisse valoir jamais 10... c'est la différence entre un majorant et un maximum.
nassi
8 - 2(x-2)² = 8
-2(x-2)² = 0
(x-2)² = 2
x-2 = √2 ou x-2 = -√2
x = √2 + 2 x = -√2 +2

le passage de la 2e à la 3e ligne est faux.
nassi
Sauf qu'on travail ici avec des longueur, donc on peut se passer de :
x = -√2 + 2

as-tu éventuellement vérifié le signe de -√2 + 2 avant de conclure ainsi ?

de toute façon la réponse n'est pas de cette forme.

courage, reprends ça patiemment !

Bonsoir
Ah oui, j'ai fais une petite erreur de calcul
Je reprends
8 - 2(x-2)² = 8
-2(x-2)² = 0
(x-2)² = 0
x-2 = √0
x-2 = 0
x = 2
Donc pour x = 2, l'aire du rectangle est maximale

Est-ce juste ?

Merci d'avance

Pouvez-vous me dire si mon raisonnement est bon

Merci d'avance