variable aléatoire

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	variable aléatoire
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sil2b	Envoyé: 13.03.2010, 23:13
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	(Re)bonjour, j'aurais besoin daide pour cet exo, merci. 1) Si une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre (λ>0), elle a pour densité de probabilité la fonction f telle que f(x)= λe^(-λ.x) sur [0;+∞[. On appelle espérance mathématique de X le réel : E(X)= $\lim _{a \rightarrow {+} \infty} \int_{0}^{a} t{f(t)}= \,\text{d}{t}$ . Démonter que E(X)= 1/λ. E(X)est appelé durée de vie moyenne. 2)Une mouche entre dans une salle et on tente de la tuer. On note T la variable aléatoire égale à la durée de vie de la mouche, la loi T est une loi de durée de vie sans vieillissement. La probabilité pour que la mouche soit tuée au cours des 20 premières minutes est 0,8. Calculer la durée de vie moyenne de la mouche en minutes et secondes. 3)Quinze mouches entrent dans la salle. a)Quelle est la probabilité pour que 10 d'entre elles soient tuées dans le premier quart d'heure ? b)Quelle est la probabilité pour que plus d'une mouche soit tuée en moins de 5 minutes ? On donnera les réponses à ces deux dernières questions à 10^-2 près. 1) on fait une intégration par partie : u'(t)=λe^(-λt) => u(t)=-e^(-λt) v(t)=t => v'(t)=1 ?


Noemi	Envoyé: 14.03.2010, 10:40
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Bonjour, Tu peux poursuivre ton calcul de E(x).

sil2b	Envoyé: 14.03.2010, 11:02
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	Bonjour, après quelques étapes de calcul, j'ai: E(X)= $\lim _{a \rightarrow {+} \infty}$ e^-λaa - 1/λ + 1/λe^-λa dt je ne sais pas trop comment faire après, mais est ce que c'est juste pour l'instant ? modifié par : sil2b, 14 Mar 2010 - 11:02

Noemi	Envoyé: 14.03.2010, 11:13
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Des problèmes de signe. Vérifie ton calcul.

sil2b	Envoyé: 14.03.2010, 11:24
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	E(X)= $\lim _{a \rightarrow {+} \infty}[$ -e^-λaa - 1/λe^-λa + 1/λ] dt

Noemi	Envoyé: 14.03.2010, 11:30
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Oui, Calcule la limite.

sil2b	Envoyé: 14.03.2010, 11:40
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	c'est ok. 2) comment faut il faire

Noemi	Envoyé: 14.03.2010, 11:45
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	e^-λa = 1/e^λa et si a tend vers +∞, ....... De même a*e^-λa = 1/(e^λa/a) et si a tend vers +∞ ; (e^λa/a) tend vers .... donc ....

sil2b	Envoyé: 14.03.2010, 11:56
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	c'est pour quelle question ce que tu as écrit ?

Noemi	Envoyé: 14.03.2010, 14:37
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	C'est pour la question 1) que je t'indiqué des éléments de réponse. Pour la question 2), tu dois calculer λ, puis E(x) sachant que P([0;20] = 0,8. Donc résous : $\int_{0}^{20}\lambda e^{-\lambda t}{dt}=0,8$

sil2b	Envoyé: 14.03.2010, 15:29
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	je reviens à la question 1) car j'ai des problèmes avec les limites: moi, j'ai : E(X)= lim(a=>+∞) [-(a+1/λ)e^-λa + 1/λ] dt -(a+1/λ) =>-∞ e^-λa =>0 donc 0(-∞) = F.I donc comment je fais pour enlever l'indétermination dans ce cas ? modifié par : sil2b, 14 Mar 2010 - 15:30*

Noemi	Envoyé: 14.03.2010, 15:35
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Pour les limites : e^-λa = 1/e^λa et si a tend vers +∞, e^λa tend vers + ∞, Donc 1/e^λa tend vers 0+ De même a*e-λa = 1/(e^λa/a) et si a tend vers +∞ ; (e^λa/a) tend vers + ∞ donc 1/(e^λa/a) tend vers 0+

sil2b	Envoyé: 14.03.2010, 16:44
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	2) je dois résoudre l'intégrale que tu m'a dit et je dois trouver 0,8 ?

Noemi	Envoyé: 14.03.2010, 16:46
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Tu résous l'intégrale et tu détermines λ.

sil2b	Envoyé: 14.03.2010, 17:35
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	2)mais 0,8 il intervient dans le calcul de l'intégrale. je ne comprend pas trop.

Noemi	Envoyé: 14.03.2010, 17:36
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Non, Calcule d'abord l'intégrale.

sil2b	Envoyé: 14.03.2010, 17:46
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	je trouve -e^-λ20 +1

Noemi	Envoyé: 14.03.2010, 17:53
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Oui, Tu résous : -e^-20λ +1= 0,8

sil2b	Envoyé: 14.03.2010, 18:22
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	je ne sais plus comment on peu modifier l'écriture de la fonction exponentielle

Noemi	Envoyé: 14.03.2010, 18:28
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	-e^-20λ +1= 0,8 e-^20λ = 0,2 Puis tu utilises ln lne-^20λ =ln 0,2 soit ....

sil2b	Envoyé: 15.03.2010, 17:58
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	3)a) comment je dois faire

Noemi	Envoyé: 15.03.2010, 21:40
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Bonsoir, 3) a) calcule la probabilité qu'une mouche soit tuée dans le premier quart d'heure. b) puis dans les 5 premières minutes

sil2b	Envoyé: 15.03.2010, 21:50
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	Bonsoir, cette probabilité, je dois la calculer avec une intégrale ?

Noemi	Envoyé: 15.03.2010, 22:00
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Oui, tu calcules l'intégrale en utilisant la valeur de λ trouvée en 2).

sil2b	Envoyé: 15.03.2010, 22:13
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	je dois calculer l'intégrale de (0à10) de (-20/ln0,2)e^(20/ln0,2)t ?

Noemi	Envoyé: 15.03.2010, 22:16
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	C'est l'intégrale de 0 à 15 puis de 0 à 5 et λ = -ln0,2 / 20

sil2b	Envoyé: 15.03.2010, 22:37
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	pour l'intégrale de 0 à 15, j'ai [-e^(ln0,2/20)t]¹⁵₀ ?

Noemi	Envoyé: 15.03.2010, 22:55
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Oui, Termine le calcul.

sil2b	Envoyé: 15.03.2010, 22:57
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	j'ai -e^(15ln0,2)/20 + 1 et je ne sais pas quoi faire après

Noemi	Envoyé: 15.03.2010, 23:09
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Utilise ta calculatrice pour trouver le résultat, soit 0,7. Qui est la probabilité pour qu'une mouche soit tuée dans le premier quart d'heure. Ensuite, sachant qu'il y a 15 mouches, calcule la probabilité que 10 d'entre elles soient tuées dans le premier quart d'heure.

sil2b	Envoyé: 15.03.2010, 23:14
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	c'est une loi binomiale ou on peut calculer autrement ?

Noemi	Envoyé: 15.03.2010, 23:19
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Oui, loi binomiale.

sil2b	Envoyé: 15.03.2010, 23:24
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	c'est: C¹⁰₁₅0,7¹⁰(1-0,7)⁵ ?

Noemi	Envoyé: 15.03.2010, 23:28
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Oui

sil2b	Envoyé: 15.03.2010, 23:30
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	le résultat c'est 0,206130381, je prend 0,2 ou 0,21 pour la proba ?

Noemi	Envoyé: 15.03.2010, 23:39
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	à 10^-2 près, soit 0,21.

sil2b	Envoyé: 15.03.2010, 23:42
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	ah oui, j'avais oublié que c'était à 10^-2 près. je continuerai demain pour la 3)b). merci Noemi, bonne nuit.

Noemi	Envoyé: 15.03.2010, 23:44
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Bonne nuit.

sil2b	Envoyé: 16.03.2010, 16:31
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	bonjour, 3)b) F(5)=0,33 p(+ d'une mouche tuée)=0,98 ? modifié par : sil2b, 16 Mar 2010 - 17:49

Noemi	Envoyé: 16.03.2010, 20:37
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Pour la probabilité, je trouve 0,97 ( 0,97279...)