Etudier une fonction en utilisant les barycentres

Enoncé de l'exercice :
Dans l'espace, on considère un tétraèdre ABCD :
1° Construire le barycentre I du système $A_1$ $B_1$ $C_2$

2° m est un nombre réel. On désigne par G le barycentre du système $A_m$ $B_m$ $C_{2m}$ $D_{(m-2)2}$
a) Justifier l'existence de G pour toute valeur de m
b) Montrer, pour tout réel m, la relation DG = (4m/(m²+4))DI

3° La fonction f est définie sur ℜ par f(x) = 4x/(m²+4)
a) Etudier les variations de f sur ℜ
b) Déterminer ses limites en +∞ et -∞
c) Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormal
d) Quelles sont les valeurs prises par f(x) lorsque x décrit l'ensemble ℜ

4° Quel est l'ensemble des barycentres G lorsque m décrit ℜ.

Résolution :
1° AG = (1/4)AB + (1/2)AC (sous forme de vecteurs bien sûr)

2°
a)
b)
Je suis parti du principe qu'on devait utiliser l'associativité avec :
G bary $A_m$ $B_m$ $C_{2m}$ $D_{(m-2)2}$
I bary $A_1$ $B_1$ $C_2$
G bary $I_{4m}$ $D_{(m-2)2}$

Puis on fait
(4m)GI + (m-2)²GD = 0
(4m)GD + (4m)DI + (m²)GD + (-4m)GD + (4)GD = 0
(4m)DI + (m+4)GD = 0
DG = ((4m)/(m²+4))DI

3°
a) f'(x) = (-4x²+16)/(x²+4)² d'où
x<-2 f'(x)<0 f(x) décroissante
-2<x<2 f'(x)>0 f(x) croissante
2<x f'(x)<0 f(x) décroissante

b)
[tex]\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x) = \lim_{x\rightarrow -\infty } 4x/x^2 = \lim_{x\rightarrow -\infty } 4/x = 0-[/tex]

[tex]\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = \lim_{x\rightarrow +\infty } 4x/x^2 = \lim_{x\rightarrow +\infty } 4/x = 0+[/tex]

c)
(fait)

d)
Pour x ∈ ℜ on a f(x) ∈ [-1;1]

4°

Vous l'aurez compris je plante sur les passages 2° et 4°.

Pour la 2°a) je vois pas comment on justifie l'existence de G, on défini un ensemble de définition peut-être ? Et pour la 4°, je comprends pas ce que peut définir DG ∈ [-1;1].
Voilà, je demande une aide pour les justifications et aussi pour être sûr que ce que j'ai fait jusqu'à présent est juste.

Supplément :
Il y a un autre exercice où je plante à propos d'un terme, on demande de chercher l'aire à partir de x d'un secteur angulaire OIM dans le cercle trigonométrique $C_{(O;OI)}$ . M étant un point du cercle pour que l'angle x = l'angle MOI

Et je ne sais pas ce qu'est un secteur angulaire.

Bonjour,

2 a) L'existence de G dépend de la valeur de m + m + 2m + .....

4° Utilise la relation entre DG et DI.

Merci,
2°
m + m + 2m + (m-2)²
= m² + 4
m = √-4 impossible d'où m ≠ 0 donc G existe

4°
DG ∈ [-1;1]DI
-DI < DG < DI

Le reste te semble juste sinon ?

Et sinon pour ma dernière question, c'est quoi un secteur angulaire ? (please :frowning2: )

Il faut préciser pour l'ensemble décrit par G question 4. .

Un secteur angulaire est une figure plane obtenue par intersection ou réunion de deux demi-plans délimités par des droites sécantes ou confondues.

G décrit un segment mais pour le secteur angulaire c'est pas plus clair -_-'
Désolé mais pourrais tu développer, par exemple, ici on me demande l'aire d'un secteur angulaire formé par un triangle OIM. Et je pige pas du tout...

Pour une image, l'aire d'un secteur angulaire peut correspondre à l'aire d'un part de gâteau rond.

Ah là je comprends !
Merci beaucoup !