Calculer la dérivée et étudier le signe d'une fonction logarithme

Bonjour
Alors voila j'ai des difficultés a faire mon exercice: pouvez vous m'y aider!

Exercice:
Fonction f définie sur [0,5 ; 5,5] par f(x) = 0,5x²(1,5−ln(x)).

On désigne par f' la dérivée de f sur [0,5 ; 5,5]

1.Calculer f'(x)
2.Montere que f'(x)= x(1-ln(x)) pour tout x de [0,5 ; 5,5]
3.Résoudre sur [0,5 ;5,5] l'inéquation 1-ln(x)>0.
En déduire le signe de f'(x).

Bonjour nass,

Avec

u(x) = 0,5x² alors u'(x) = ...

et

v(x) = 1,5−lnx alors v'(x) = ...

On a f' de la forme de (uv)', or (uv)' = ...

Tu sais compléter les ... ?

non, c'est là que je bloque. je n'arrive pas à tourver les valeurs

La dérivée de x² est 2x
La dérivée de λu est λu' (λ un réel)
donc la dérivée de ax² et 2ax

donc pour u(x) = 0,5x² alors u'(x) = ...

Quelle est la dérivée de lnx ?

quelle est alors la dérivée de v(x) = 1,5−lnx ?

Pour U(x) = 0.5x²
U'(x) = 0.5 * la dérivée de x²

Donc U'(x) = 0.5 * 2x
= 1x = x

mais pour la dérivée de Inx je trouve pas

Citation
Pour U(x) = 0.5x²
U'(x) = 0.5 * la dérivée de x²

Donc U'(x) = 0.5 * 2x
= 1x = x

Oui

u(x) = 0,5x² et u'(x) = x

Le cours !: La dérivée de lnx est 1/x

donc avec v(x) = 1,5−lnx alors v'(x) = ...

Sais-tu compléter (uv)' = ... (la dérivée d'un produit de 2 fonctions)

je crois que j'ai trouver:

f'(x) = U'(x)*V(x) + U(x)*V'(x)

f'(x) = x(1.5 - Inx) + 0.5x²(-1/x)
f'(x) = 1.5x - xInx - 0.5(x²/x)
f'(x) = 1.5x - xInx -0.5x
f'(x) = (1.5 - 0.5)x - xInx
f'(x) = 1x - xInx
donc f'(x) = x (1-Inx)

Parfait

tu peux passer à la 3)

pour la 3) je crois que c'est:

1-ln(x)>0
-In(x)> -1
et Donc In(x)> 1

Le logarithme népérien se note ln et non pas In !

Citation
1-ln(x)>0
-In(x)> -1

Oui

Citation
et Donc In(x)> 1
Non

quand tu en es là : -ln(x)> -1
pour éliminer le signe -, on multiplie à gauche et à droite par -1. Or quand on multiplie par un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité.

ça donne
-lnx > -1 ⇔
lnx < 1
...

Il faut poursuivre, là ce n'est pas résolu, à toi

non je n'y arrive toujours pas :frowning2:

Ok,

-lnx > -1 ⇔

lnx < 1 ⇔

$e^{lnx}$ < $e^1$ ⇔ car x→ $e^x$ est strictement croissante sur R

x < e

Donc sur [0,5 ; 5,5] les solutions de l'inéquation 1-ln(x) > 0 sont [0,5 ; e[

Je quitte pour ce soir ... pour en déduire le signe de f'(x) :

f'(x) = x (1-lnx)

x ∈ [0,5 ; 5,5] donc x>0, f' est donc du signe de 1-ln(x)

Tu en déduis le signe de f' sur [0,5 ; e[ et sur [e ; 5.5] ...

Sur [0.5 , 5.5 ] , x>0 donc f '(x) du signe de 1-lnx

Conclusion :

Pour 0.5 < x < e , f '(x) >0 donc f croissante

Pour e < x <5.5 , f '(x) < 0 donc f décroissante

Pour x=e , f admet un maximum qui vaut f(e)

et donc:

f(e)= 0.5e²(1.5-lne)
= 0.5e²(1.5-1)
= 0.5e²(0.5)
= 0.5²e²

Le raisonnement est correct, je n'ai pas vérifié le calcul f(e)

la suite de l'exercice:

dresser le tableau de variation de la fonction f.
puis montrer, à l'aide du tableau que l'équation f(x)=0 admet une solution [0.5 ; 5.5]
donner les valeurs décimales de f(x) arrondies à 10-²
pour x = 4 ; 4.5 et 5
en déduire un encadrement à 0.1 près de la solution de l'équation f(x)=0
Résoudre par calcule l'équation f(x)=0 sur [0.5 ; 5.5]
Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à 0.01 près.

pour la 4. on m'a dit de faire:

f(x)=0
0.5x²(1,5−ln(x))=0
0.5x²1.5 - 0.5x²ln(x )=0
(0.75-0.5)x²*lnx=0
0.25x²lnx=0

mais je pense que c'est pas ça!

Je crois que j'ai trouver:
Avec le tableau de variation de f.

Sur [0.5 ; e] : f continue et strictement croissante ;
f(0.5) 0.27 et f(e) 1.85 donc f(x) >0
donc f(x)=0 ,n'a ps de solution.

Sur [e ; 5.5] : f continue et strictement décroissante;
f(e) 1.85 et f(5.5) -3.10

on utilises le théorème des valeurs intermédiaires pour prouver que l'équation f(x)=0 a une solution unique dans cet intervalle.

C'est ça??

Oui, c'est correct jusque 4)

Je serai Out ce week_end, si quelqu'un d'autre peut te venir en aide si nécessaire ...

Un tuyau pour la 7)
Citation

Résoudre par calcule l'équation f(x)=0 sur [0.5 ; 5.5]
Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à 0.01 près.

Tu as commencé avant l'heure ici :
nass
pour la 4. on m'a dit de faire:

f(x)=0
0.5x²(1,5−ln(x))=0
0.5x²1.5 - 0.5x²ln(x )=0
(0.75-0.5)x²*lnx=0
0.25x²lnx=0

mais je pense que c'est pas ça!
Mais effectivement, ça va coincer comme ça

Conseil : Laisse f(x) sous sa forme d'origine, ne développe pas :

f(x) = 0 ⇔
0.5x²( 1,5 - lnx )= 0

C'est de la forme "rouge" × "bleu" or "un produit de facteur est nul si et seulement si ..."

Tu vois où je veux en venir ?