Résolution d'un problème d'espaces vectoriels


  • B

    Bonsoir,

    Est ce que vous pouvez me donner une piste pour résoudre ce problème svp?

    1. Soit f et g deux éléments de L(E). Montrer que : f o g = g of =>

    f(Kerg) ⊂Kerg
    f(Img) ⊂ Img

    Merci d'avance


  • M

    Bonjour,
    Pour la première inclusion, tu peux commencer ainsi :
    Soit y ∈f(Kerg) :
    ∃x∈Kerg tel que y=f(x)
    Donc g(y) = ... continue


  • B

    merci de votre aide:
    g(y)=g(f(Kerg))?


  • M

    Non : à gauche tu as un élément de E et à droite un sous-ensemble de E.
    g(y)=g[f(x)] = (g o f)(x) = ...


  • B

    d'accord... merci
    =(gof)(0)= fog(0)
    0∈Kerg
    donc l'inclusion est vérifiée?


  • M

    Non : pourquoi as-tu remplacé x par 0 ?
    g(y)=g[f(x)] = (g o f)(x) = (f o g)(x) puisque g o f = f o g
    g(y) = f[g(x)] = f(0) car g(x) = 0 puisque x ∈ Kerg
    donc g(y) = f(0) = 0 puisque f est linéaire.
    g(y) = 0 donc y ∈ Kerg

    En résumé : y∈f(Kerg) ⇒ y∈Kerg
    Donc f(Kerg) ⊂ Kerg

    Essaie de résoudre l'autre inclusion par une méthode analogue.


  • B

    oki merci , ce n'est pas gagnée pour moi !!j'essaie de le faire avec la deuxième inclusion:
    g(y)=g[f(x)] = (g o f)(x) = (f o g)(x) puisque g o f = f o g
    g(y) = f[g(x)]
    x∈Img


  • M

    Non. C'est le raisonnement qui compte, pas les calculs.
    Et dans ce que tu écris, on ne sait pas ce que désignent les lettres x et y.
    Tu veux démontrer une inclusion : pour cela tu prends un élément du premier ensemble, et en utilisant les propriétés données tu t'efforces de démontrer qu'il appartient au second.
    Le schéma du raisonnement :
    Soit y ∈ f(Img)
    donc
    ....
    ....
    ....
    donc y ∈ Img

    Procède lentement pour bien comprendre.
    Soit y ∈ f(Img) : qu'est-ce que cela veut dire ?
    Que y est l'image par f de quelque chose
    Donc il existe x de ... tel que ...


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