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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
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arithmétique PGCD

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Envoyé: 25.10.2005, 13:57

lola412

enregistré depuis: oct.. 2005
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dernière visite: 25.10.05
Bonjour j'ai un exo à faire en spé et je n'y arrive pas pouvez vous m'aider ?

Exercice :

les suites d'entiers naturels (Xn) et (Yn) sont définies sur N par
X0=3 et X(n+1)= 2X(n) -1
Y0=1 et Y(n+1)=2Y(n)+3

1)démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n; Xn=2 n+1 +1
j'ai réussi à répondre à cette question

2)*Calculer le pgcd de X3 et X4 puis celui de X2005 et X2006
(là je sais pas si il faut remplacer n par 3,4,2005 ET 2006)
*Xn et X(n+1) sont ils premiers entre eux pour tout entier naturel n?

3)*Démontrer que pour tout entier naturel n, 2Xn-Yn=5
* Exprimer Yn en fonction de n
*en utilisant les congruences modulo 5, étudier suivant les valeurs de l'entier naturel p le reste de la division euclidienne de 2 puissance(p) par 5 "la seule question que j'ai réussi à faire"

* On note dn le PGCD de Xn et Yn pour tout entier naturel n
Démontrer que l'on a: dn=1 ou dn=5; en déduire des entiers naturels n tels que Xn et Yn soient premiers entre eux.

merci d'avance pour votre aide







modifié par : Zauctore, 25 Oct 2005 @ 13:03

modifié par : mtschoon, 14 Fév 2013 - 23:30
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Envoyé: 25.10.2005, 14:16

Modérateur
Zauctore

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dernière visite: 07.03.13
Salut.

Question 2.
La relation
2 Xn - Xn+1 = 1
te donne une information sur le pgcd de Xn et de Xn+1.

PS : à l'avenir, utilise les balises indice et fin d'indice sous la zone de saisie du texte.
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Envoyé: 25.10.2005, 14:36

lola412

enregistré depuis: oct.. 2005
Messages: 2

Status: hors ligne
dernière visite: 25.10.05
je n'ai pas compris ce que tu as mis dans ta réponse
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Envoyé: 25.10.2005, 14:53

Modérateur
Zauctore

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dernière visite: 07.03.13
Suppose que d soit diviseur commun à Xn et Xn+1 ; alors d diviserait ... 1, d'après la relation de récurrence.
Qu'en penses-tu ?
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Envoyé: 25.10.2005, 14:55

Cosmos
flight

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Messages: 528

Status: hors ligne
dernière visite: 21.11.10
en fait A et B sont premiers entre eux (leur pgcd vaut 1) si il existe deux entiers U et V tel que AU+BV=1. ici A=Xn , B=Xn+1

alors 2.Xn-Xn+1=1 alors U vaut 2 et V=-1, ainsi Xn+1 et Xn sont

premiers entre eux puisque il peuvent s'ecrire sous la forme précedente.


flight721
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