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PGCD |
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Envoyé: 25.10.2005, 13:57
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dernière visite: 25.10.05
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Bonjour j'ai un exo à faire en spé et je n'y arrive pas pouvez vous m'aider ?
Exercice :
les suites d'entiers naturels (Xn) et (Yn) sont définies sur N par
X0=3 et X(n+1)= 2X(n) -1
Y0=1 et Y(n+1)=2Y(n)+3
1)démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n; Xn=2 n+1 +1
j'ai réussi à répondre à cette question
2)*Calculer le pgcd de X3 et X4 puis celui de X2005 et X2006
(là je sais pas si il faut remplacer n par 3,4,2005 ET 2006)
*Xn et X(n+1) sont ils premiers entre eux pour tout entier naturel n?
3)*Démontrer que pour tout entier naturel n, 2Xn-Yn=5
* Exprimer Yn en fonction de n
*en utilisant les congruences modulo 5, étudier suivant les valeurs de l'entier naturel p le reste de la division euclidienne de 2 puissance(p) par 5 "la seule question que j'ai réussi à faire"
* On note dn le PGCD de Xn et Yn pour tout entier naturel n
Démontrer que l'on a: dn=1 ou dn=5; en déduire des entiers naturels n tels que Xn et Yn soient premiers entre eux.
merci d'avance pour votre aide
modifié par : Zauctore, 25 Oct 2005 @ 13:03
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Envoyé: 25.10.2005, 14:16
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Modérateur
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Salut.
Question 2.
La relation
2 Xn - Xn+1 = 1
te donne une information sur le pgcd de Xn et de Xn+1.
PS : à l'avenir, utilise les balises indice et fin d'indice sous la zone de saisie du texte.
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Envoyé: 25.10.2005, 14:36
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je n'ai pas compris ce que tu as mis dans ta réponse
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Envoyé: 25.10.2005, 14:53
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Modérateur
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Suppose que d soit diviseur commun à Xn et Xn+1 ; alors d diviserait ... 1, d'après la relation de récurrence.
Qu'en penses-tu ?
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Envoyé: 25.10.2005, 14:55
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Cosmos
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dernière visite: 16.10.08
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en fait A et B sont premiers entre eux (leur pgcd vaut 1) si il existe deux entiers U et V tel que AU+BV=1. ici A=Xn , B=Xn+1
alors 2.Xn-Xn+1=1 alors U vaut 2 et V=-1, ainsi Xn+1 et Xn sont
premiers entre eux puisque il peuvent s'ecrire sous la forme précedente.
flight721
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