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Envoyé: 16.01.2010, 15:24
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Galaxie
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Bonjour, j'ai quelques problèmes pour résoudre cet exercice :
Soient ABC un triangle dont tous les angles sont aigus et E un point de [BC] autre que B et C.
E est le pied de la bissectrice de BÂC.
1) Quelle sont la hauteur commune aux triangles ABE et ACE ?
2) On note S et S’ les aires respectives des triangles ABE et ACE.
Montrer que S / S’ = BE / CE
Montrer que E est le barycentre du système de points :
(B ; S') , (C ; S)
3) Si on note H et K les projetés orthogonaux de E respectivement sur [AB] et [AC], que peut on dire de EH et EK ?
4) En calculant S et S’ d’une autre façon, en déduire que E est le barycentre de (B ; AC) , (C ; AB).
5) Montrer alors que le barycentre du système de points :
{(A ; BC), (B ; AC), (C ; AB)}
est le point de concours des bissectrices du triangle ABC.
Merci d'avance pour votre aide.
modifié par : 06h54, 17 Jan 2010 - 15:33
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Envoyé: 16.01.2010, 17:09
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Modératrice
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Bonjour,
Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.
a) As tu fait un schéma ?
Quel point est commun aux deux triangles ?
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Envoyé: 16.01.2010, 18:16
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Galaxie
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J'ai des difficultés pour les 3 dernières questions
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Envoyé: 16.01.2010, 18:31
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Modératrice
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Question
d) (EH) correspond à quoi pour le triangle EBA ?
e) Exprime les aires puis le barycentre.
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Envoyé: 16.01.2010, 18:34
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Galaxie
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d) (EH) est la hauteur du triangle EBA
e) Les aires qui sont notées S et S' ?
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Envoyé: 16.01.2010, 18:37
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Galaxie
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d) De plus, on a (EH) qui est la hauteur de ABE et (EK) la hauteur de ACE; Par conséquent d'après la propriété sur les bissectrices, EH = EK
Devons nous citer la propriété ?
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Envoyé: 16.01.2010, 18:45
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Modératrice
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Pourquoi EH = EK ?
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Envoyé: 16.01.2010, 18:49
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Galaxie
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Ce n'est pas correcte ?
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Envoyé: 16.01.2010, 21:49
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Modératrice
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Non, C'est un cas particulier.
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Envoyé: 17.01.2010, 11:31
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Galaxie
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Que devons-nous faire alors ?
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Envoyé: 17.01.2010, 11:40
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Modératrice
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Tu calcules les aires S et S' des triangles.
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Envoyé: 17.01.2010, 11:44
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Galaxie
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Nous avons S = (BE x AL) / 2
et S' = (EC x AL) / 2
AL étant la hauteur commune aux triangles ABE et ACE partant de A .
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Envoyé: 17.01.2010, 11:47
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Modératrice
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Tu dois utiliser EH et EK.
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Envoyé: 17.01.2010, 11:53
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Galaxie
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On a S qui est l'aire de ABE,
Donc Aire ABE = [ (AE x EH) / 2 ] + [ (BE x EH) / 2 ]
Soit [ ((AE x EH) + (BE x EH)) / 2 ]
Et nous avons S' qui est l'aire de ACE
Donc Aire ACE = [ (AE x EK) / 2 ] + [ (EC x EK) / 2 ]
Soit [ ((AE x EK) + (EC x EK)) / 2 ]
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Envoyé: 17.01.2010, 12:20
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Galaxie
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est-ce correcte ?
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Envoyé: 17.01.2010, 13:36
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Galaxie
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Donc grâce aux formules citées précédemment, nous avons introduit EH et EK .
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Envoyé: 17.01.2010, 13:52
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Modératrice
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Les formules sont correctes, mais tu dois utiliser les mesures des côtés AB et AC pour le calcul des aires.
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Envoyé: 17.01.2010, 13:55
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Galaxie
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Mais nous n'avons pas les mesures de AB et AC ?
Peut être grâce à la trigo ?
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Envoyé: 17.01.2010, 14:03
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Modératrice
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On ne demande pas une valeur pour les aires. C'est l'expression en fonction de AB et AC, EH et EK.
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Envoyé: 17.01.2010, 14:12
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Galaxie
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Mais nous ne pouvons pas en même temps utiliser AB et AC ainsi que EH et EK pour exprimer les aires ?!
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Envoyé: 17.01.2010, 14:15
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Modératrice
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Oui
Calcule S et S'
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Envoyé: 17.01.2010, 14:18
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Galaxie
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Et ben, comme je l'ai dit tout à l'heure, nous aurions :
S = (BE x AL) / 2
Et S' = (EC x AL) / 2
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Envoyé: 17.01.2010, 14:35
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Modératrice
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Tu me redonnes les réponses de la question b).
Pour la question e) il est écrit en calculant S et S' d'une autre façon !!!
Donc écris S en utilisant AB et S' en utilisant AC.
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Envoyé: 17.01.2010, 14:41
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Galaxie
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S = (AB x EH) / 2
S' = (AC xEK) / 2
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Envoyé: 17.01.2010, 14:58
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Modératrice
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oui,
Montre que E est le barycentre ....
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Envoyé: 17.01.2010, 15:09
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Galaxie
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On a S=(AB x HE) /2 et S'=(AC x EK) /2
On a donc S / S' = AB / AC = BE / CE
Par conséquent AB x CE = AC x BE (produit en croix)
On aurait alors AB x CE + AC x BE = 0
Donc E est le barycentre du système (B ; AC) (C ; AB)
en gras = vecteur
Mais est ce suffisant comme justification pour dire que E est le barycentre de (B ; AC), (C ; AB) ?
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Envoyé: 17.01.2010, 15:22
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Modératrice
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Quelle indication te permet de dire que EH = EK ?
(AE) est la bissectrice de l'angle BAC ?
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Envoyé: 17.01.2010, 15:34
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Galaxie
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Oui effectivement, E est le pied de la bissectrice de l'angle BAC.
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Envoyé: 17.01.2010, 15:49
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Modératrice
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Donc ton raisonnement est juste.
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Envoyé: 17.01.2010, 16:15
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Galaxie
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D'accord, Merci. Néanmoins la réponse est elle assez justifiée ?
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Envoyé: 17.01.2010, 16:25
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Modératrice
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Oui
A mon avis c'est suffisant.
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Envoyé: 17.01.2010, 16:31
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Galaxie
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Merci beaucoup.
Et pour la question N°5, quel raisonnement devons nous suivre ?
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Envoyé: 17.01.2010, 16:53
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Modératrice
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Pour la question 5, tu appliques le même raisonnement avec le point de concours des bissectrices.
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Envoyé: 17.01.2010, 18:03
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Galaxie
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dernière visite: 09.01.11
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On va utiliser ici le théorème d'associativité du Barycentre :
E bary ( B ; S' ), ( C ; S )
E bary ( B ; AC ), ( C ; AB )
Donc E bary ( A ; BC ), ( B ; AC ), ( C ; AB ) ( par associativité )
Donc E est le point de concours des bissectrices du triangle ABC.
Mais je trouve que cette rédaction n'est pas très "belle" .. Néanmoins, est-ce correct ?
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Envoyé: 17.01.2010, 18:14
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Modératrice
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dernière visite: 08.02.12
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Il faut utiliser le point de concours des bissectrices qui n'est pas le point E. Et indiquer la relation pour les trois bissectrices.
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