Suite de fibonacci

Bonjour a tous

Voila je suis nouveau sur ce forum , je me suis inscrit pour vous demander de l'aide , en effet jai du mal a répondre a 3 question de mon DM , si quelqu'un pourait m'éclairer ce serai pa mal ^^

Alors voila mon DM porte sur la célèbre suite de fibonacci ( avec les lapin ), voici l'intitulé :

Notons Fn le nombre de couples de lapins au mois n. On a F0. jusqu'a la fin du deuxième mois , la population se limite a un couple ( F1 = F2 = 1). En revanche , dès le début du troisième mois , nos lapin ont deux mois et ils engendrent un autre couple de lapin : F3 = 2 . Plaçons-nous maintenant au mois n et cherchons a exprimer ce qu'il en sera deux mois plus tard n+2: F(n+2) = F(n+1) + Fn

Expliquer pourquois pour tout n ≥ 2 , On a F(n+2) = F(n+1) + Fn
Soit (Un) une suite géométrique non nulle de raison r non nulle vérifiant pour tout n € N : U(n+2)= U(n+1) + U(n)

Montrer que r vérifient la relation (1) r²=r+1 et en déduire que r = (1+√5)/2 ou r= (1-√5)/2

Merçi de prendre le temps de m'aider

Bonjour,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

Il faut deux mois pour que la population augmente
(Un) est une suite géométrique :
donc U(n+1) = .....U(n)
U(n+2) = ......U(n)

F(n) est définie sur IN le premier rang c'est pour n =0 c'est a dire verifier F(2) = F(1)+F(0)
puis supposons que pour n appartient a IN F(n+2)=F(n+1)+F(n) et montrons que F(n+3)=F(n+2)+F(n+1)
Mais j'ai du mal a démontrez pourquois pouriez-vous me mettre sur la piste ?

Bonjour,
Il n'est pas indispensable de faire une démonstration par récurrence.
A la fin du mois n+2, il y a F(n+1) couples
parmi lesquelsF(n) ont 2 mois ou plus et donc donnent naissance à F(n) nouveaux couples.
D'où F(n+2) = F(n+1) + F(n)

J'ai oublier de citer dans l'énoncer mais le calcul doit se faire par recurrence
Merçi de votre aide

Tu peux toujours effectuer le même raisonnement que moi mais au mois n+3 au lieu du mois n+2.
Je ne vois pas l'intérêt d'un récurrence ici.
Citation

Expliquer pourquoi pour tout n ≥ 2 , On a F(n+2) = F(n+1) + FnQu'importe la nature de l'explication ( si elle est convaincante ... )

Il faut dire sa a mon prof lOol , je fait que suivre l'énoncer mai merçi quand meme de votre réponse et pour la question 2 , vous pourriez me mettre sur la voie ?

Noemi a déjà répondu.
Applique la définition d'une suite géométrique de raison r :
U(n+1) = ??? ( en fonction de U(n) et de r )

Pour la récurrence, tu me montreras ce que ton professeur a donné en corrigé : je serais curieux de savoir comment il passe d'un rang au suivant.

Je n'est pa compris le raisonnement qu'elle a appliqué , pourriez-vous m'expliquer ? SVP

Citation
Applique la définition d'une suite géométrique de raison r :
U(n+1) = ??? ( en fonction de U(n) et de r )Il s'agit ici d'appliquer juste la définition : regarde dans ton cours la définition d'une suite géométrique de raison r.

SVP pourriez-vous m'aider une derniere fois pour la suite du calcul ?? il me manque la fin , comment montrer que F(n+3) = F(n+2) + F(n+1) ??????

2)u est une suite geometrique de raison r définie sur IN alors u(n)=u(0)r^n
d'où U(n+2)= U(n+1) + U(n) equi r^2 = r + 1 (simplification par u(0)r^n).
déduction:
r^2 - r - 1 = 0
delta = 5 d'où r = (1+√5)/2 ou r= (1-√5)/2

Est-ce juste ?

C'est tout à fait juste

Tu dois préciser que $r^n$ est non nul ( r l'est ) et que u(0) est non nul ( pour simplifier ) ce qui est vrai car il est dit que la suite est non nulle. Si u(0) était nul, tous les autres termes le seraient aussi.
Le reste me semble correct.

ok merçi , et pour le calcul pa recurrence ? quelle est la suite logique du calcul ?

Pour la question 1, je t'ai répondu que la démonstration par récurrence est inutile.
Mais pas seulement.
a) La propriété est vraie pour n = 0 : f(2) = f(1) + f(0)
b) si on suppose que la propriété est vraie au rang n:
F(n+2) = F(n+1) + F(n)
Il faut alors démontrer que F(n+3) = F(n+2) + F(n+1)
en utilisantl'égalité ci-dessus ( sinon, inutile de faire une récurrence! )
Or je ne vois pas comment on peut effectuer ce passage autrement qu'en raisonnant comme je l'ai fait dans mon message de 14h15.
C'est-à-dire
sansutiliser l'hypothèse de récurrence.

Je vient d'envoyer un mail a mOn professeur celui ci ma assuré que le calcul se fesait par récurence

Citation
Pour la récurrence, tu me montreras ce que ton professeur a donné en corrigé : je serais curieux de savoir comment il passe d'un rang au suivant.
Sinon, demande de l'aide sur ce point à quelqu'un d'autre ( m.p.)

pas de pb je post le coriger sur ce topic ?

Oui, tu peux aussi envoyer mon raisonnement ( message de 14h15 ) à ton professeur, il peut me répondre sur le forum de mon site ( lien bleu ).

c'est envoyer , une derniere question

je blok sur la question , en utilisant la relation r²=r+1 , montrer que pour tout n € IN on a Ψ^n+2 = Ψ^n (Ψ+1)
Φ^n+2= Φ^n (Φ+1)
En déduire par récurence sur n que pour tout n € lN , On a
Fn= (1/√5)(Φ^n - Ψ^n )

Φ = ( 1+5)/2 ET Ψ = ( 1 -5) / 2

Oui, j'ai lu, mais corrige ton énoncé : Qu'est-ce que Ψ, Φ, et il doit manquer des racines carrées.

effectivement ^^

en utilisant la relation r²=r+1 , montrer que pour tout n € IN on a Ψ^n+2 = Ψ^n (Ψ+1)
Φ^n+2= Φ^n (Φ+1)
En déduire par récurence sur n que pour tout n € lN , On a
Fn= (1/√5)(Φ^n - Ψ^n )

Φ = ( 1+√5)/2 Ψ = ( 1 -√5) / 2

c mieux ?

Si je comprends bien , Φ et Ψ sont les racines de r² = r+1 : Φ la racine positive et Ψ la racine négative.
Pour démontrer la formule de récurrence ( cette fois c'est bien une récurrence ) sur Φ et Ψ, inutile de le faire deux fois : il suffit de la démontrer sur r.
a) Elle est vraie pour n = 0 : $r^{0+2}$ = $r^0$ (r+1)
b) la supposant vraie pour n , il est aisé de l'établir pour n+1.

Ψ $^2$ =Ψ+1
Ψ $^2$ *Ψ $^n$ = (Ψ+1)*Ψ $^n$
?????

Oui, donc ici, inutile de faire une récurrence.
N'oublie pas : Ψ $^2$ *Ψ $^n$ = = Ψ $^{n+2}$
Même chose pour Φ puisque l'on a aussi Φ² = Φ +1

Et pour "En déduire par récurence sur n que pour tout n € lN , On a
Fn= (1/√5)(Φ^n - Ψ^n )" jme base sur quoi ?

a) Vérifie l'égalité pour n = 0 .
b) Tu supposes ensuite que l'égalité est vraie
jusqu'à n+1, et tu démontres qu'elle est vraie au rang n+2