Calculs de limites et asymptotes fonction ln

Bonjour !

Gros problèmes de limites !

$d_f=r*+$ et $f(x)=x+1+x+lnxx2f(x)=x+1+\frac{x+lnx}{x^2}$

Je dois calculer ses limites en 0 et $+∞+\infty$ . Puis justifier que les droite D:x=0 et Delta:y=x+1 sont asymptote a C.

Je pense avoir réussi pour 0 mais pour $+∞+\infty$ je ne trouve pas une simplification de f pour que ce ne soit pas une forme indéterminée.

Pour la limite en 0 par valeurs supérieures :

$lim⁡x→0x+1=+∞\lim _{x \rightarrow 0} x+1 = +\infty$

$lim⁡x→0xx2=lim⁡x→01x=0\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{x^2} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} = 0$

et

$lim⁡x→0lnxx2=0\lim _{x \rightarrow 0} \frac{lnx}{x^2} = 0$

D'ou :

$lim⁡x→0f(x)=+∞\lim _{x \rightarrow 0} f(x)= +\infty$

Voila merci d'avance pour votre aide !

Bonsoir,

Vérifie tes calculs
lim (x+1) quand x tend vers 0 = 1

ah oui ok

mais j'ai de gros soucis

alors par valeurs inférieures :

$lim⁡x→0x+1=1\lim _{x \rightarrow 0}x+1 = 1$

$lim⁡x→01x=+∞\lim _{x \rightarrow 0}\frac{1}{x} = +\infty$

$lim⁡x→0lnx=−∞\lim _{x \rightarrow 0}ln x = -\infty$

$lim⁡x→01x2=+∞\lim _{x \rightarrow 0}\frac{1}{x^2} = +\infty$

donc $\lim _{x \rightarrow 0} lnx\frac{1}{x^2} = -\infty \$

mais pour la somme 1/x et le produit cest pas indéterminé ?

Si x tend vers 0+ ,
x + lnx équivalent à lnx
donc (x+lnx)/x² équivalent à lnx/x²
donc comme lim lnx /x² tend vers -∞
alors lim f(x) tend vers ...

ok vers -∞

et quand x tend vers +∞ ?

Indique tes éléments de réponse.
Tu dois trouver +∞.

le problème est qye je narrive pas a mettre sous une forme factorisée la fonction pour avoir des limites connues !

Calcule les limites quand x tend vers + ∞ de
x+1
1/x
lnx/x²

ok

alors

+∞
0
0

ca fait donc la somme +∞ + 0/0 cest pas indéterminé ?

ah non mais cest +∞ + 0 + 0 !

donc au final +∞

Pour les asymptotes
quand x tend vers 0, la limite de f est - ∞ donc x = .....

Pour l'asymptote oblique,
calcule la limite de f(x) -(x+1) quand x tend vers +∞

je comprends pas la premiere phrase

mais la condition pour que la droite d:x=0 soit assymptote verticale a la courbe est que lim f(x) quand x tend vers 0 soit l'infini. Or ici lim de f(x) quand x tend vers 0 par valeur supérieure cest -∞. donc la droite d:x=0 est assymptote a la courbe.

C'est bon ?

Pour l'oblique :

lim de f en +∞ cest +∞ et lim de -x-1 en +∞ cest -∞ cest donc indéterminé.

après j'ai raisonné comme ceci :

f(x)-(x+1)=(x+lnx)/x^2

donc lim de f(x)-(x+1)= lim (x+lnx)/x^2 = 0

donc je peux considerer que la droite delta:y=x+1 est bien assymptote a la courbe ou je dois faire la limite en -∞ et trouver 0 aussi pour pouvoir affirmer ?

Bonjour,
Il n'y a pas lieu de chercher une limite lorsque x tend vers -∞ puisque la fonction n'est définie que pour x > 0.

d'accord merci beaucoup.

J'ai des soucis pour la suite :

Montrer que h(x)=x+ln x avec Dh=R+ est strictement croissante sur Dh et quelle prend des valeurs positives et négatives.*

Bon la j'ai étudier h, sa dérivée, qui est (1+x)/x, j'ai fait les limites en 0 et +infini je trouve -infini et +infini. Après j'ai dit que les limites aux bornes de h sont -inf et +inf donc h prends ses valeurs dans R.

En déduire que Delta coupe Cf en un point unique d'abscisse alpha vérifiant alpha+ln alpha=0

h est continue est strictement croissante sur R*+ a valeur dans R. Or 0 appartient a R, donc il existe un unique point d'abscisse alpha qui vérifie alpha+ln alpha=0 qui coupe Cf.
J'ai l'impression qu'il me manque un truc !

Ensuite montrer que alpha est compris entre 0.56 et 0.57.
Je ne sais pas comment faire la.

Puis déterminer la position de Cf par rapport a delta.
donc la j'ai voulu faire f(x)-(1+x)=(lnx+x)/x^2, x^2>0 donc cest du signe du numérateur. Mais je n'arrive pas a faire le signe... Je dois utiliser la question precedente peut etre ? j'utilise la valeur approximative de alpha ?

Etudier le sens de variation de f et encore d'autres trucs après mais je suis bloquée avant.

Bonsoir,

Première question :
Il reste à démontrer que la dérivée est strictement positive dur Dh.

Deuxième question
Quelle est l'équation de delta ?

Ben je l'ai démontré :

sur R*+ x>0 donc 1+x strictement positif d'ou (x+1)/x strictement positif j'ai fait un tableau.

Delta toujours la meme : Delta:y=x+1

Bonjour LuluCooooper,

Tu veux étudier le signe de f(x)-(1+x) = (lnx + x) / x²

Tu as bien compris que cette expression est du signe de lnx + x

Or lnx + x = h(x)

Dans une question précédente, sur ]0 ; +∞[ tu as montré que h est strict croissante et qu’elle change de signe.

Dans la question suivante, tu as dû utiliser le corolaire des valeurs intermédiaires pour montrer que Δ coupe Cf en un point unique d'abscisse α vérifiant α + ln α = 0
(tu as même encadré α)

Or, α + ln α = 0 est équivalent à h(α) = 0

α est donc la valeur charnière qui te permet de dresser le tableau de variation de h, d’en déduire son signe et par conséquent la position de Cf par rapport à Δ

Oki j'ai bien compris tout ca.

tout dabord, pour l'encadrement de alpha je n'ai pas sur faire.

Pour la position de Cf par rapport a delta :

J'ai fait le talbeau de variation de h avant dans une question precedente. Donc ca me permet de le compléter avec la valeur alpha.
Je trouve que Cf est au dessous de delta sur ]0;alpha] (ouvert, fermé lintervalle ?) et au dessus de Cf sur [alpha;+∞[.

Le sens de variation de f :

je dois dériver ?

Bonjour,
C'est difficile de prendre en route un sujet déjà très avancé.
Pour l'encadrement de alpha :
Calcule x+ln x lorsque x = 0.56 et lorsque x = 0.57 ( valeurs approchées pas trop imprécises ).

ok je comprends pas a quoi ca me sert pour montrer lencadrement :

quand x=0,56 on a -0.019
quand x=0,57 on a 0,0078

ben on remarque que ces valeurs sont proches de 0, c'est surement les plus proches

Ce n'est pas cela qu'il faut remarquer : l'une est négative et l'autre est positive.
Comme h est croissante sur ]0 ; +∞[ , il en résulte que ...

ben il en résulte que c'est le bon encadrement ?

Oui, peu clair.
h est strictement croissante sur ]0 ; +∞[, donc
0 < a < b < c ⇔ h(a) < h(b) < h(c)
Ici : h(alpha) = 0
h(0.56) ≈ -0.019
h(0.57) ≈ +0.0078 , donc
h(0.56) < 0 < h(0.57)
Donc
h(0.56) < h(alpha) < h(0.57)
donc 0.56 < alpha <0.57

*** Edit de Zorro : ajouts d'espaces autour des signes inférieurs pour régler un souci d'affichage***

Je ne sais pas pourquoi, ça poste mal ( en bleu, il manque des termes ... !!)

Oui, peu clair.
h est strictement croissante sur ]0 ; +∞[, donc
0<a<b<c ⇔ h(a)
Ici : h(alpha) = 0
h(0.56) ≈ -0.019
h(0.57) ≈ +0.0078 , donc
h(0.56)<0
Donc
h(0.56)<h(alpha)
donc 0.56<alpha<0.57

Mathtous
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h est strictement croissante sur ]0 ; +∞[, donc
a < b < c ⇔ h(a) < h(b) < h(c)
h(alpha) = 0
On a : h(0.56) < 0 et h(0.57) > 0
Donc
h(0.56) < 0 < h(0.57)
Donc h(0.56) < h(alpha) < h(0.57)
Donc 0.56 < alpha < 0.57

ok c'est bien mieu comme ceci oui merci !

quand je dis la position de Cf par rapport a la droite delta, je dois inclure ou exclure alpha dans les deux intervalles ?

Normalement tu dois prendre les intervalles ouverts : au-dessus sous-entend "strictement" au-dessus. Pour alpha, la droite coupe la courbe : elle n'est ni au-dessus ni au-dessous.

D'accord je comprends merci.

il me reste a étudier le sens de variation de f,
d'en déduire qu'il existe un reel unique beta tel que f(beta)=0, de montrer un encadrement donné de beta. et enfin construire Cf et delta.

Alors je pense que pour beta et son encadrement cest bon car cest le même principe, mais pour étudier f je dois dériver et faire une étude normale ? faire un tableau, les limites sont deja calculées.

Je pense qu'il faut en effet étudier le signe de la dérivée.
Mais je dois maintenant me déconnecter.
J'espère que tu trouveras de l'aide.
Bon courage.

Merci beaucoup en tous cas !

bon ca yest je suis perdue.

je trouve f'(x)= (1-2lnx)/x

son signe :

sur ]0;e(1/2)] et - sur [e(1/2);+∞[ ca voudrait dire que f est croissante puis décroissante ! or on sait que f est strictement croissant sur R*+ !!!

Bonsoir,

si $f(x)=x+1+x+lnxx2f(x)=x+1+\frac{x+lnx}{x^2}$

il y a comme un gros souci pour f '(x) .....

donne nous ton calcul de la dérivée de la fonction g définie par $\frac{x+lnx}{x^2}$

lol ok.

Alors j'ai fait la dérivée de u/v :

$(1x+1)(x2)−(2x)(x+lnx)x2\ \frac{(\frac{1}{x}+1)(x^2)-(2x)(x+lnx)}{x^2}$

$x2x+x2−2x2−2xlnxx2\ \frac{\frac{x^2}{x}+x^2-2x^2-2xlnx}{x^2}$

$x+x2−2x2−2xlnxx2\ \frac{x+x^2-2x^2-2xlnx}{x^2}$

$x−x2−2xlnxx2\ \frac{x-x^2-2xlnx}{x^2}$

Voila

sauf (u/v)' = ( .... )/
v²

or ici v(x) = x² ... donc (v(x))² = ....

Et puis tu peux peut-être factoriser le numérateur et simplifier !

Rho oui.

je trouve $1−x−2lnxx3\frac{1-x-2lnx}{x^3}$

Oui,

Et comme f(x) = x + 1 + (ce dont tu as calculé la dérivée)

f'(x) = 1 + ce que tu as trouvé, soit :

$\frac{1-x-2lnx}{x^3} = \frac{x^3-x+1-2lnx}{x^3}$

Mais pour montrer facilement que f'(x) est positive pour tout x>0 . . . je ne vois pas là tout de suite !

mais la derivee est juste ?
pi si vous voyez pas moi non plus lol!!

C'est ce que je trouve en tout cas comme dérivée.

Pour le signe, mes connaissances en maths sont limitées (je ne suis pas prof) ... attendons l'avis d'une personne plus compétente.

S'il me vient une solution, je posterai.

Rebonjour,
Pour connaître le signe de la dérivée, tu peux étudier la fonction auxiliaire : N(x) = $x^3$ - x + 1 - 2ln x
Calcule N'(x) et cherche son signe.
Tu pourras en déduire les variations de N , puis son signe.
D'où les variations de f.