Maths Spé : DM à terminer + Enigme de pirates

Salut à tous, voilà , donc j'ai eu un DM de maths Spé pendant les vacances je l'ai commencé mais je bloque sur la fin donc si vous pouviez m'aider

Voici le Sujet :

On considère (E) : 17x - 11y = 1, où (x ; y) désigne un couple d'entiers relatifs. Résoudre (E).
C'est fait : j'ai trouvé (11k+2 ; 17k+3).

2.) Soit N un entier naturel tel qu'il existe un couple (a;b) d'entiers naturels vérifiant : (N=17a+3 et N=11b+4
a) Montrer que (a;b) est solution de (E): 17x - 11y = 1 ou (x;y) est un couple d'entiers relatifs.
Ca c'est fait.

b) Quel est le reste de la division euclidienne de N par 187 ?
C'est fait. Je trouve 37.

Déterminer tous les entiers naturels N tels que N soit solution du systeme de congruence : N congru à 37[mod187] et N congru à 5[mod6]
Je bloque.

Application :
Une bande de 17 pirates des Caraibes s'est emparée d'un butin composé de pièces d'or d'égale valeur. Ils décident de faire des parts égales et de donner le reste au cuisinier chinois. Celui ci recevrait alors 3 pièces d'or. Mais les pirates se querellent et six d'entre eux sont tués. Le cuisinier recevrait alors quatre pièce d'or. Comble de malchance pour l'équipage, le navire fait naufrage ! Seuls, le butin, six pirates et le cuisinier sont sauvés et le partage laisse alors cinq pièces d'or au cuisinier. Quelle est la fortune minimale que peut espérer le cuisinier s'il décide d'empoisonner le reste des pirates avec des nems au crabe qui ont déja fait deux fois le tour du monde ?
Je bloqué également.

Merci de m'aider et passez de joyeuses fêtes.

Dire que N ≡ 37 [187] et N ≡ 5 [6]
équivaut à
∃q∈N N=187q+37 et N ≡ 5 [6]
∃q∈N N=187q+37 et 187q+37 ≡ 5 [6]
...
∃q∈N N=187q+37 et q ≡ ... [6]

...
donc ∃q'∈N N=1122q'+785
(autrement dit N ≡ 785 [1122])
réciproque à vérifier

pour l'application, traduire les donnés du texte en langage mathématique, faire le lien avec les questions précédentes et conclure que 785 pièces d'or est bien un minimum pour venir à bout d'une bande de pirates amateurs de nems.

remarque : Pour la malchance du naufrage, je soupçonne le cuisinier d'avoir sabordé le navire !

Merci beaucoup pour ton post qui m'éclaircit énormément mais je ne comprends pas comment tu fais pour passer de :
∃q∈N N=187q+37 et 187q+37 ≡ 5 [6]
∃q∈N N=187q+37 et q ≡ ... [6]
car pour enlever le 187 pour isoler q dans la congruence, je crois qu'on a pas le droit de diviser.

oui évidemment "on ne divise pas" pour isoler q
mais 187 ≡ ... [6]

N=187k+37 et N ≡ 5 [6]
donc 187k+37 ≡ 5 [6]
donc 187k ≡ 1 [6]
comme 187 ≡ 1 [6] et que 187k ≡ 1 [6]
alors k ≡ 1 [6] ?

à l'aide quel théorème ???

Comme 187≡1[6], on a 187k≡k[6]
De plus 37≡1[6] donc 187k+37≡...

Comme 187≡1[6], on a 187k≡k[6]
De plus 37≡1[6] donc 187k+37≡ k + 1[6]
Donc k = 4 [6] car 187k+37 ≡ 5 [6]
Donc k = 4 +6q
mais je ne vois pas comment continuer

ihab27
Comme 187≡1[6], on a 187k≡k[6]
De plus 37≡1[6] donc 187k+37≡ k + 1[6]
Donc k = 4 [6] car 187k+37 ≡ 5 [6]
Donc
il existe k' dans N tel quek = 4 +6
k'
mais je ne vois pas comment continuer
Ainsi N=187k+37=...

(Merci énormément pour le temps que tu consacres à m'aider)
Ainsi 187k + 37 = 187(4+6k') + 37 = 1122k' + 785

Réciproque :
Pour la première condition :
785 ≡ 37 [187], 1122 ≡ 0 [187] donc 1122k' ≡ 0 [187] et 1122k' + 785 ≡ 37 [187]
Deuxième condition :
785 ≡ 5 [6], 1122 ≡ 0 [6] donc 1122k' ≡ 0[6] et 1122k' + 785 ≡ 5 [6]
Les deux conditions étant vérifiées, la réciproque est validée et ainsi,
les entiers naturels N tels que N soit solution du systême de congruence : N congru à 37[mod187] et N congru à 5[mod6] sont ceux de la forme 1122k' + 785 avec k' appartenant à N.

J'ai bon ?
Mais j'aurai encore un peu besoin de ton aide précieuse pour l'application

ihab27
J'ai bon ?
Si tu n'es pas convaincu par ce que tu écris, comment pourrais-je l'être ?

ihab27
Mais j'aurai encore un peu besoin de ton aide précieuse pour l'application
pour l'application, je t'ai déjà répondu plus haut :
traduire les donnés du texte en langage mathématique, faire le lien avec les questions précédentes et conclure que 785 pièces d'or est bien un minimum pour venir à bout d'une bande de pirates amateurs de nems.

Une bande de 17 pirates des Caraibes s'est emparée d'un butin composé de pièces d'or d'égale valeur. Ils décident de faire des parts égales et de donner le reste au cuisinier chinois.
Soit N le nombre de pièce d'or du trésor.
N = 17a + 3
Mais les pirates se querellent et six d'entre eux sont tués. Le cuisinier recevrait alors quatre pièce d'or.
N = 17a + 3 = 11b + 4
Comble de malchance pour l'équipage, le navire fait naufrage ! Seuls, le butin, six pirates et le cuisinier sont sauvés et le partage laisse alors cinq pièces d'or au cuisinier.
N = 17a + 3 = 11b + 4 = 6c + 5 = 187k + 37 d'après la question 3)
Je ne vois pas ou je peux utiliser le systême de deux conditions réunis :
{N congru à 37[mod187] et N congru à 5[mod6]

ihab27
Une bande de 17 pirates des Caraibes s'est emparée d'un butin composé de pièces d'or d'égale valeur. Ils décident de faire des parts égales et de donner le reste au cuisinier chinois.
Soit N le nombre de pièce d'or du trésor.
N = 17a + 3
Mais les pirates se querellent et six d'entre eux sont tués. Le cuisinier recevrait alors quatre pièce d'or.
N = 17a + 3 = 11b + 4
Comble de malchance pour l'équipage, le navire fait naufrage ! Seuls, le butin, six pirates et le cuisinier sont sauvés et le partage laisse alors cinq pièces d'or au cuisinier.
N = 17a + 3 = 11b + 4 = 6c + 5 = 187k + 37 d'après la question 3)
Je ne vois pas ou je peux utiliser le systême de deux conditions réunis :
{N congru à 37[mod187] et N congru à 5[mod6]

ce que tu écris n'est pas clair...
que sont a ? b ? c ? k ?
quel lien avec les questions précédentes ?

Seuls, le butin, six pirates et le cuisinier sont sauvés et le partage laisse alors cinq pièces d'or au cuisinier.
Il existe un entier naturel c tel que N = 6c + 5
On a dit à 2) que le reste de la division euclidienne de N par 187 est 37 donc il existe un entier naturel k tel que N = 187k + 37
C'est à partir de là que je ne vois pas le lien avec les congruences

ihab27
Seuls, le butin, six pirates et le cuisinier sont sauvés et le partage laisse alors cinq pièces d'or au cuisinier.
Il existe un entier naturel c tel que N = 6c + 5
On a dit à 2) que le reste de la division euclidienne de N par 187 est 37 donc il existe un entier naturel k tel que N = 187k + 37
C'est à partir de là que je ne vois pas le lien avec les congruences

Non mais je veux dire je ne vois pas ce relations du texte avec les congruences de la question 3).

Sinon : on a ce systeme à résoudre :
{N ≡ 37 [187]
{N ≡ 5 [6]
{N ≡ 3 [17]
{N ≡ 4 [11]

Sachant qu'on a seulement résolu :
{N ≡ 37 [187]
{N ≡ 5 [6]

Application :
Une bande de 17 pirates des Caraibes s'est emparée d'un butin composé de pièces d'or d'égale valeur.
Soit N le nombre de pièces d'or de ce butin.
Ils décident de faire des parts égales et de donner le reste au cuisinier chinois. Celui ci recevrait alors 3 pièces d'or.
Donc N≡3[17]
Mais les pirates se querellent et six d'entre eux sont tués. Le cuisinier recevrait alors quatre pièce d'or.
Donc N≡4[11]
Comble de malchance pour l'équipage, le navire fait naufrage ! Seuls, le butin, six pirates et le cuisinier sont sauvés et le partage laisse alors cinq pièces d'or au cuisinier.
Donc N≡5[6]

L'entier naturel N est donc défini par N≡3[17] et N≡4[11] et N≡5[6]

D'après 2b. Si N≡3[17] et N≡4[11] alors N≡37[187]
Réciproquement, si N≡37[187] alors N≡37[17] et N≡37[11] car 187=17×11
donc N≡3[17] et N≡4[11] car 37≡3[17] et 37≡4[11]
Ainsi, (N≡3[17] et N≡4[11]) équivaut à N≡37[187]
D'après 3. (N≡37[187] et N≡5[6]) équivaut à N≡785 [1122]

On en déduit que l'entier naturel N est définie par N≡785 [1122]

Quelle est la fortune minimale que peut espérer le cuisinier s'il décide d'empoisonner le reste des pirates avec des nems au crabe qui ont déja fait deux fois le tour du monde ?

Le plus petit entier naturel définie par N≡785 [1122] étant 785, on en déduit que ...