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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
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Fin 

Quotient entier et carré

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
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Envoyé: 30.12.2009, 11:41

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Bonjour,
Je doit démontré que si le quotient (a²+b²)/(1+ab) est entier, alors c'est le carré d'un entier.
a et b sont des entiers naturel
1) Démontré que tout couple de la forme (a,0) répond à la questin : j'ai réussi
2) Démontré que si a=b, alors a=0 ou a=1.
Je vois bien que (0,0) et (1,1) marches, mais je ne vois pas comment démontré.
Merci de m'aider
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Envoyé: 30.12.2009, 12:03

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Zauctore

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salut

l'énoncé dit : si a=b, alors a=0 ou a=1

tu dois donc faire comme si a était égal à b : dans (a²+b²)/(1+ab) tu remplaces par exemple a par b et tu vois ce que ça donne.
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Envoyé: 30.12.2009, 12:04

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ca donne 2a²/(1+a²) mais pourquoi a=0 ou a=1 ?
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Envoyé: 30.12.2009, 13:27

Cosmos
Bertoche

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2a²/(1+a²)=(2a²+2-2)/(1+a²)=2-2/(1+a²)

pour que ce nombre soit le carré d'un entier, il faut nécessairement que 2/(1+a²)=2 ou 2/(1+a²)=1
...
donc a=0 ou a=1


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Envoyé: 30.12.2009, 13:33

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Ah oui, c'est simple.
La question suivante est
3) On suppose que a>b>0 et que (a²+b²)/(1+a²) est entier
a) Démontré qu'il existe un entier n tel que b3=a+n(1+ab)
b) Démontreé que 0 ≤ n < b
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Envoyé: 30.12.2009, 13:48

Cosmos
Bertoche

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pourrais-tu écrire l'énoncé complet de cet exercice ???

modifié par : Bertoche, 30 Déc 2009 - 13:49


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Envoyé: 30.12.2009, 14:02

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a et b sont deux entiers naturels.
Le but est de démontrer que si (a²+b²)/(1+ab) est entier, alors c'est le carré d'un entier.
On appellera solution tout couple (a,b) pour lequel (a²+b²)/(1+ab) est entier
1)Démontrer que tout couple de la forme (a,0) répond à la question
2) Démontrer que si a=b alors a=0 ou a=1
3) On suppose déssormais que a>b>0
a) Démontrer qu'il existe un entier n tel que b3 = a+n(1+ab)
b) Démontrer que 0 ≤ n < b
4) Démontrer que si (a,b) est une solution telle que a>b >0 alors (b,n) est aussi une solution.
Que peut-on dire du quotient (b²+n²)/(1+bn) ?
5) En déduire qu'a partir d'une solution (a,b) tel que a>b>0 on peut trouver une solution de la forme (x,0) fournissant le même quotient.
6) Conclure
7) Application : trouver une solution avec a>5000 et (a²+b²)/(1+ab) = 4
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Envoyé: 30.12.2009, 16:39

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mathtous

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Bonjour,
Pour la question 3a), tu peux utiliser les congruences modulo 1+ab


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Envoyé: 30.12.2009, 16:53

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a²+b² ≡ 0 modulo 1+ab ?
Donc a3+b3≡ 0 modulo 1+ab ?
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Envoyé: 30.12.2009, 18:05

Cosmos
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zora93
a²+b² ≡ 0 modulo 1+ab ?
Donc a3+b3≡ 0 modulo 1+ab ?

non sûrement pas !
si tu connais la notation ≡, l'exercice est certes plus agréable et facile à rédiger mais avant il faudrait revoir les règles de calculs et ce que cette notation ≡ veut dire...


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Envoyé: 31.12.2009, 11:05

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Oui, a3+b3 n'est pas ≡ 0 : je l'ai vérifiée avec le couple (8,2).
Mais pour (8,2) on a bien 8²+2²=68 ≡0 modulo 1+8×2 =17
Si a²+b² ≡ 0 modulo 1+ab, comment passé à b3 ?
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Envoyé: 31.12.2009, 11:14

Cosmos
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en multipliant a²+b² par ...
ensuite il faut isoler b³
et réfléchir sur -a²b modulo 1+ab


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Envoyé: 31.12.2009, 11:23

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b² ≡ -a² modulo 1+ab
donc b3 ≡ -a²b
Mais il faudrait trouvé a et pas -a²b
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Envoyé: 31.12.2009, 11:32

Cosmos
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justement réfléchir sur -a²b modulo 1+ab devrait t'apporter la réponse !



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Envoyé: 31.12.2009, 11:42

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-a²b ≡ a
a²b ≡ -a
ab ≡ -1
ab+1 ≡ 0
c'est vrai car c'est modulo 1+ab
Donc b3 ≡ a modulo 1+ab
sa veut dire que la différence est multiple de 1+ab
b3-a = n(1+ab)
donc b3 = a+n(1+ab)
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Envoyé: 31.12.2009, 11:54

Cosmos
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écrit dans ce sens n'est pas correct car on ne peut pas diviser par a comme avec simple égalité !
de plus commencer ton raisonnement en admettant l'égalité finale -a²b ≡ a modulo 1+ab quoique tu écrives ensuite ne peut te faire aboutir qu'à dire -a²b ≡ a modulo 1+ab !
(sauf dans le cas d'un raisonnement par l'absurde où en effet on suppose avoir le contraire de la conclusion pour écrire une contradiction par la suite)


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Envoyé: 31.12.2009, 12:01

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ab+1 ≡ 0 modulo 1+ab
ab ≡ -1
a²b ≡ -a
-a²b ≡ a
Mais on a vu b3 ≡ -a²b ( c'etait bon sa ? )
donc b3 ≡ a
donc b3 = a +n(1+ab)
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Envoyé: 31.12.2009, 12:26

Cosmos
Bertoche

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voilà qui est mieux !
Ne pas oublier les modulo à chaque ligne
(sinon quand on divise on écrit des bêtises du genre 2x≡4modulo6 donne x≡2modulo6 au lieu de x≡2modulo3)

tu peux écrire ( après b³ ≡ -a²b modulo 1+ab )
or ab+1 ≡ 0 modulo 1+ab
donc ab ≡ -1 modulo 1+ab
En multipliant par a≠0, a²b ≡ -a modulo 1+ab

On en déduit que b³ ≡ a modulo 1+ab


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Envoyé: 31.12.2009, 13:46

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Citation
En multipliant par a≠0, a²b ≡ -a modulo 1+ab
Pourquoi il faut précisé que a≠0 ? C'est pas seulement quand on divise ?
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Envoyé: 31.12.2009, 14:07

Cosmos
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en multipliant par a, ...


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Envoyé: 31.12.2009, 14:11

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Mais si ab ≡ -1 modulo 1+ab, en multipliant par a on trouves a²b≡-a modulo 1+ab, même si a=0 ? ( 0≡0)
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Envoyé: 31.12.2009, 14:28

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mathtous

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Pardon d'intervenir, mais je crois que sur ce point zora93 a raison :
le raisonnement est du type si ... alors et non pas par équivalences.
Qu'importe alors que a soit nul ou non.


Mathtous
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Envoyé: 31.12.2009, 14:30

Cosmos
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exact...
Mathtous tu connais le site que j'ai mis en signature ?


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Envoyé: 31.12.2009, 14:39

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Mais pour la 3b ?
n est un entier relatif, il n'est pas forcément ≥0
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Envoyé: 31.12.2009, 14:44

Cosmos
Bertoche

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au départ oui
...
à la fin c'est un entier relatif compris entre 0 et b


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Envoyé: 31.12.2009, 14:48

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b3=a+n(1+ab)
Pour avoir n≥0 il faudrait que b3 ≥ a
Sur l'exemple(8,2), on a b3 =a
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Envoyé: 01.01.2010, 15:59

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Plus personne ?
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Envoyé: 01.01.2010, 17:03

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mathtous

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Calcule n à partir de b3 = a+n(1+ab)
Puis, considère la fonction g définie sur [0;+∞[ par
g(x) = (b3-x)/(1+bx)


Mathtous
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Envoyé: 01.01.2010, 17:06

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Je trouve n = (b3-a)/(1+ab)
Mais quel rapport avec g(x) ?
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Envoyé: 01.01.2010, 17:07

Modérateur
mathtous

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Que vaut g(a) ?


Mathtous
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Envoyé: 01.01.2010, 17:09

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Ah oui c'est n
Mais aprés ?
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Envoyé: 01.01.2010, 17:10

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mathtous

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Etudie les variations de g sur [0;+∞[



Mathtous
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Envoyé: 01.01.2010, 17:24

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Je trouve que la dérivée est négative
donc g est décroissante.
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Envoyé: 01.01.2010, 17:26

Modérateur
mathtous

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Oui.
Tu as vu que g(a) = n
Que vaut g(b3) ?
Quelle est la limite de g(x) quand x tend vers +∞ ?


Mathtous
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Envoyé: 01.01.2010, 17:31

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g(b3) = 0
g(x) → -1/b
x → +∞
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Envoyé: 01.01.2010, 17:35

Modérateur
mathtous

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Oui.
On veut n ≥ 0, donc b3 ≥ a
Raisonne par l'absurde : que se passerait-il si on avait b3 < a ?



Mathtous
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Envoyé: 01.01.2010, 17:36

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n serait négatif ?
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Envoyé: 01.01.2010, 17:39

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mathtous

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Evidemment ! mais cela n'apporte rien.
Suppose que b3 < a
Place les valeurs b3 et a dans ton tableau de variations
Qu'observes-tu ?


Mathtous
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Envoyé: 01.01.2010, 17:43

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J'ai
x.........0..........b3..........a..........+∞
g(x).. .b3.........0...... ....n......... -1/b
avec la flèche qui descent

Top 
Envoyé: 01.01.2010, 17:44

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mathtous

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Tu ne vois pas que cela est impossible ?


Mathtous
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