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Envoyé: 27.12.2009, 14:46
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Voie lactée
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Bonjour j'aimerais un peu d'aide pour pouvoir commencer mon exercice je suis bloqué merci :).
Soit la suite (Un) définie, pour tout entier naturel n, par :
U0=3
Un+1=Un/1+Un
Justifier que tous les termes de la suite sont positifs.
Déterminer le sens de variation de la suite.
U1=3/4
U2=3/7
...
Si vous pouvez me donner des pistes merci
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Envoyé: 27.12.2009, 14:56
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Modératrice
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Bonjour,
Pour le sens de variation, étudie le signe de Un+1/Un.
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Envoyé: 27.12.2009, 15:16
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Voie lactée
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Un=Un-1/1+(Un-1) ??
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Envoyé: 27.12.2009, 15:18
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Modératrice
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Exprime le rapport : Un+1 / Un
Tu dois trouver que ce rapport est inférieur à 1.
modifié par : Noemi, 27 Déc 2009 - 15:19
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Envoyé: 27.12.2009, 15:26
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Voie lactée
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Je remplace Un+1 par Un/1+Un et Un par Un-1/1+(Un-1) non ?
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Envoyé: 27.12.2009, 15:28
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Modératrice
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Non,
Exprime à partir de la relation de l'énoncé, le rapport Un+1 / Un.
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Envoyé: 27.12.2009, 15:36
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Voie lactée
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Je suis perdu là comment je peux exprimer le rapport ?
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Envoyé: 27.12.2009, 15:37
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Modératrice
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Tu as : Un+1=Un/1+Un
Divise cette expression par Un.
...
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Envoyé: 27.12.2009, 15:45
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Voie lactée
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Si on divise par Un sa donne :
1/1+Un/Un
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Envoyé: 27.12.2009, 15:50
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Modératrice
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Non
Tu obtiens :
Un+1/Un = 1 / (1+Un)
Que peut-on dire de 1 / (1+Un) par rapport à 1 ?
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Envoyé: 27.12.2009, 15:57
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Voie lactée
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1/(1+Un) inférieur ou égale à 1
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Envoyé: 27.12.2009, 15:58
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Oui c'est inférieur ou égal à 1 car Un > 0
Donc la suite (Un) est ........
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Envoyé: 27.12.2009, 19:25
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Voie lactée
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Comment on sait que Un>0 ?
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Envoyé: 27.12.2009, 19:33
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Voie lactée
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Si je résume sa donne :
Un+1/Un=1/(1+Un)
Un>0 donc tous les termes de la suite sont positifs.
Un+1/Un ≤1 donc Un+1 < Un et (Un) décroissante
J'aimerais juste savoir comme je fais pour montrer que Un>0
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Envoyé: 27.12.2009, 20:16
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Modératrice
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Pour démontrer que pour tout n Un>0 fait une démonstration par récurrence.
Pour le sens de variation, note que Un > 0, Un+1>1 donc 1/Un+1 < 1
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Envoyé: 27.12.2009, 20:24
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Voie lactée
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T'apelle par quoi une démonstration par récurrence ? 
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Envoyé: 27.12.2009, 20:27
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Modératrice
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Tu vérifies la propriété pour n = 0 et 1, tu supposes qu'elle est vraie à l'ordre n et tu démontres qu'elle est vraie à l'ordre n+1.
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Envoyé: 27.12.2009, 20:31
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Voie lactée
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Sa je l'ai pas encore fais en cours donc je suis perdu :s
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Envoyé: 27.12.2009, 20:49
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Modératrice
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Dans ce cas, tu dis que u0, u1 positif et Un est la division de deux nombres positifs donc il est positif.
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Envoyé: 27.12.2009, 20:50
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Cosmos
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Le raisonnement par récurrence n'est pas au programme mais tu peux en faire un sans le dire 
1°) Evidemment si Un>0 alors Un+1>0
car Un>0 (numérateur) et 1+Un>1 (dénominteur)
2°) On a U0>0 donc U1>0 ( d'après 1°) )
Comme U1>0, on en déduit que U2>0 (d'après 1°) )
De même, comme U2>0, on a U3>0
etc...
Ainsi, tous les termes de la suite sont strictement positifs
Dimensions
Un site pour découvrir progressivement la quatrième dimension.
Vertiges mathématiques garantis !
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