DM : SUITES récurrente et intermédiaire arithmétique

Bonjour

voilà j'ai un problème sur un DM je bloque un peu

Alors tout d'abord voici l'énoncé :

La fonction f(x) = 9/(6-x)

on définit la suite un avec : U_0 = -3 et U_{n+1} = f(U_n)
et la suite V_n par V_n = 1/( U_n - 3 )

1. démontrer que la suite V_n est arithmétique de raison -1/3

2. Exprimer V_n puis un en fonction de n.

3. calculer limite de U_n

Mes réponses:

Alors pour la question 1 je sais qu'il faut faire V_{n+1} - V_n et trouver -1/3

( ou est-il possible de démontrer que V_{n+1} = V_n - 1/3 ? )

Mais le problème est qu'à un moment j'arrive à :
(6-n)/(-9+3n) - 1/(U_n-3) = ? me suis-je trompé ?

Ensuite pour la question 2 je trouve : V_n = -1/6 -(1/3)n
Mais je n'arrive pas pour U_n je bloque également

Enfin je trouve comme limite 3. Est ce cela ?

MERCI !

Salut

alors pour ta question 1, ce n'est "que" du calcul...

un peu de LaTeX... par définition de V :

$vn+1−vn=1un+1−3−1un−3v_{n+1} - v_n = \frac{1}{u_{n+1} - 3} - \frac{1}{u_n -3}$

et par définition de U :

$vn+1−vn=196−un−3−1un−3v_{n+1} - v_n = \frac{1}{\frac{9}{6-u_n} - 3} - \frac{1}{u_n -3}$

d'où

$vn+1−vn=6−un9−3×(6−un)−1un−3v_{n+1} - v_n = \frac{6 - u_n}{9 - 3 \times(6 - u_n)} - \frac{1}{u_n -3}$

de là, tu aboutis en quelques lignes à -1/3 comme attendu.

Merci , désolé pour LaTex mais j'ai pas tres bien compris comment ça marche ..
J'arrive à :

$6−un−9+3un−1un−3\frac{6-un}{-9+3un} - \frac{1}{un-3}$ puis j'ai compris qu'il fallait factoriser le dénominateur par 3 , arriverait donc à :
$3(un−3)\frac{}{3(un-3)}$ avec le Un-3 qui s'annulera mais je ne vois comment faire pour le numérateur ..

c'est un essai, je t'encourage à continuer

$6−un3(un−3)−1un−3\frac{6-u_n}{3(u_n - 3)} - \frac{1}{u_n-3}$

devient

$6−un3(un−3)−33(un−3)\frac{6-u_n}{3(u_n-3)} - \frac{3}{3(un-3)}$

soit

$3−un3(un−3)\frac{3-u_n}{3(u_n-3)}$

il reste à simplifier; ok ?

Ah oui merci apres plusieurs essais j'ai réussi à trouver -1/3 , il fallait juste faire -( U_n - 3 ) ..
Par contre j'ai encore un petit soucis pour U_n en fonction de n.

J'ai déjà trouver :
$\frac{-1}{6} - \frac{1}{3}n$
Ainsi : $\frac{1}{vn} + 3 = \frac{1}{\frac{-1}{6}- \frac{1}{3}n} + 3$
= $−6−3n−3-6-\frac{3}{n} - 3$
mais je ne vois comment continuer merci

je me permets de mettre un petit up car c'est assez urgent et je suis reellement bloqué et je ne pourrais pas faire les questions suivantes . Merci

Bonjour,

Ce n'est que du calul ...

Mettre les fractions du dénominateur de la ""grande fraction"" au même dénominateur

Diviser 1 par une fracition = multiplier 1 par ....

Ajouter la fraction obtenue à 3

Ce n'est vraiment très compliqué !

Oui je sais que cela ne devrait pas etre compliqué mais je n'arrive toujours pas a comprendre .. voici ca quoi j'arrive : $−6n−3n+3=−6n−3n+3nn=−6n−3+3nn\frac{-6n-3}{n} + 3 = \frac{-6n-3}{n} + \frac{3n}{n}= \frac{-6n-3+3n}{n}$
[/tex]
est ce bon ?

Je ne trouve pas le même résultat ! ....

Je ne vois pas d'où vient le n tout seul au dénominateur !

je ne comprends pas alors ... moi j'ai transformé -6 en (-6n)/n et j'arrive donc a (-6n-3)/n
je me trompe ?

On part de $1,−16−n3,,+,3,=,1,,−1−2n,6+3\frac{1}{,\frac{-1}{6}-\frac{n}{3},},+,3,=,\frac{1}{,\frac{,-1-2n,}{6}}+3$

non ?

ah d'accord je suis parti trop vite ... j'ai inversé des le debut ..
j'arrive donc a $6n−32n+1\frac{6n-3}{2n+1}$
merci et bonne soirée !

Moi aussi j'arrive au même résultat !