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Envoyé: 25.11.2009, 18:04
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Une étoile
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Bonjour, je suis bloqué sur ce problème depuis un moment.
La suite numérique est définie sur N par la donnée de u0=0 et par la relation de récurrence
Pour tout n dans N un+1=(2un+3)÷(un+4)
Et la on me demande de montrer que pour tout n∈N*, 0< un <1 et que la suite est croissante.
Donc, j'ai prouvé que la suite était croissante en faisant la dérivée de la fonction f(un), et j'ai fait l'initialisation de la recurrence. Mais apres je suis completement bloqué. 
modifié par : Thierry, 26 Nov 2009 - 12:33
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Envoyé: 25.11.2009, 19:33
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Une étoile
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Bonsoir,
Par récurrence la propriété est vraie pour l'ordre 0 car u0 = 0 qui est compris entre 0 et 1
Supposons que la propriété reste vrai pour l'ordre n et demontrons qu'elle est vraie pour l'ordre (n + 1)
Tout d'abord ( 2un + 3 ) : ( un + 4 ) = 2 - (5):(un + 4)
La propriété est vraie pour l'ordre n c'est a dire 0 < un < 1
4 < un + 4 < 5 et 1/5 < (1):(un + 4) < 1/4
donc 5/5 < (5):(un + 4) < 5/4
donc -5/4 < -(5):(un + 4) < -1
alors 2 - 5/4 < 2 - (5):(un + 4) < 2 - 1
donc 3/4 < 2 - (5):(un + 4) < 1
par suite 0 < un + 1 < 1 ce qu'il faut démontrer
Montrons que (un) est croissante en étudiant le signe de un+1 - un
or un+1 - un = ( 2un + 3 ) : ( un + 4 ) - un
= (2un + 3 - u2n - 4un) : ( un + 4 )
= (- u2n - 2un + 3) : ( un + 4 )
= -(un - 1)( un + 3 ) : ( un + 4 )
qui est strictement positif parce que 0 < un < 1
Par suite un+1 - un > 0 pour tout entier naturel n et alors (un) est une suite croissante
A bientôt
Bonne chance
modifié par : Thierry, 26 Nov 2009 - 12:37
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Envoyé: 25.11.2009, 19:55
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Quelqu'un peut confirmer cette méthode? J'ai jamais vu cette facon de procéder, c'est pour ca.
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Envoyé: 25.11.2009, 20:55
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Modératrice
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Cette méthode est correcte, sauf qu'il y a une erreur :
4 < un+4< 5 implique 1/4> 1/(un+4) > 1/5
Décompose (2un+3)/(un+4) = 2 - .....
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Envoyé: 26.11.2009, 09:58
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Merci à vous deux!!!! 
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Envoyé: 26.11.2009, 12:37
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Une étoile
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Et apres dans le meme exercice on me donne
pour tout n dans N 
Et on me dit de montrer que c'est une suite géomètrique convergente.
"Bon la y a pas de problème"
Mais apres on me dit de calculer un en fonction de n.
Alors la je sais pas du tout comment faire 
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Envoyé: 26.11.2009, 15:58
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Une étoile
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Bonsoir
vn = ( un - 1 ) : ( un + 3 )
donc vn ( un + 3 ) = un - 1
donc un . vn + 3vn = un - 1
donc un ( vn - 1 ) = -1 -3vn
par suite un = ( - 1 - 3vn ) : ( vn - 1) = ( 1 + 3vn ) : ( 1 - vn )
comme ( vn ) est une suite geometrique de raison q = 1/5
avec v0 = -1/3
donc vn = v0.qn + 1 = -1/3.(1/5)n + 1
D'ou un = ( 1 + 3(-1/3).(1/5)n + 1 ) : ( 1 - (-1/3).(1/5)n + 1 ) = ( 1 - (1/5)n + 1 ) : ( 1 - (-1/3).(1/5)n + 1 )
Bonne continuation
Bonne chance
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Envoyé: 26.11.2009, 17:10
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Une étoile
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Merci pour ton coup de main hitman, malgré une petite faute:
Vn=V0.qn
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Envoyé: 26.11.2009, 17:52
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Bonsoir
Oui oui tu as raison je suis desole
modifié par : hitman, 26 Nov 2009 - 18:07
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Envoyé: 26.11.2009, 18:47
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Modératrice
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Bonsoir,
As-tu résolu la question sur l'encadrement de un ?
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