Suite et méthode d'Euler


  • M

    Bonsoir j'ai cet exercice à faire mais je bloque à certaines questions, merci de m'aider:

    I)a et b sont deux réels donnés. L'objectif de cet exercice est d'étudier la convergence (c'est à dire la limite en +∞) de la suite (Un) définie sur N par UUU_{n+1}=aun=au_n=aun+b.

    1)Répondre à la question dans le cas particulier où a=1.
    (On pourra remarquer que (Un) est une suite particulière)

    2)Répondre à la question dans le cas où a≠1.(On pourra considérer la suite définie par vvv_n=un=u_n=un-a ou a est solution de ax+b=x)

    II) On se propose de construire sur l'intervalle [-1.5;1.5] une représentation graphique approchée de la fonction f solution de l'équation différentielle y'=1+y² avec comme condition initiale y(0)=0.

    1. En utilisant l'approximation affine f(a+Δx_xx)≈f(a)+Δx_xx×f'(a), déterminer une valeur approchée de f(0.5) puis de f(1) en prenant Δx_xx=0.5.

    2. Sur [0;1.5], on choisit un pas Δ<em>x<em>x<em>x=0.1. On construit par la méthode d'Euler une suite de points MMMn(xn(x_n(xn;yny_nyn).
      Etablir que xxx
      {n+1}=xn=x_n=xn+0.1 et y</em>n+1y</em>{n+1}y</em>n+1=0.1yn1y_n1yn²+yn+y_n+yn+0.1

    3. Sur EXEL, construire ces deux suites. On placera dans la colonne A les valeurs de n , dans la colonne B les valeurs de xnx_nxn et dans la colonne C les valeurs de yny_nyn pour n allant de 0 à 15. On obtient ainsi une approximation de f sur [0;1.5].

    4)Sur [-1.5;0], on choisit un pas Δ<em>x<em>x<em>x=-0.1. On construit par la méthode d'Euler une suite de points qu'on nomme encore MMMn(xn(x_n(xn;yny_nyn).
    Établir que xxx
    {n+1}=xn=x_n=xn-0.1 et y</em>n+1y</em>{n+1}y</em>n+1=-0.1yn1y_n1yn²+yn+y_n+yn-0.1

    1. Dans les colonnes D et E, calculer les coordonnées des points MnM_nMn. Compléter la courbe obtenue dans la question 3 en se plaçant dans la zone graphique par un clic droit, puis sélectionner Données source/série/ajouter et enfin désigner les nouvelles valeurs de x puis celles de y.

    2. Refaire la même chose sur [-1.5;1.5] avec un pas Δx_xx=0.01

    3. Connaissez-vous cette fonction f?

    Ce que j'ai fait:
    II)
    1)f(0)=0 ⇒ f(0+0.5)≈f(0)+0.5×f'(0)
    ⇔f(0.5)≈0+0.5×(1+f(0)²)
    ⇔f(0.5)≈0+0.5×1+0≈0.5

    f(1)≈f(0.5)+0.5f'(0.5)
    ≈0.5+0.5(1+f(0.5)²)
    ≈0.5+0.5+0.5×0.25
    ≈1.125
    2)comme Δ<em>x<em>x<em>x=0.5
    xxx{n+1}=xn=x_n=xn+0.1
    f(xf(xf(x{n+1})=f(xn)=f(x_n)=f(xn+0.1)≈f(xnf(x_nf(xn+0.1(1+f(xn1(1+f(x_n1(1+f(xn)²)
    yyy
    {n+1}=yn=y_n=yn+0.1+0.1×yny_nyn²=0.1yn1y_n1yn²+yn+y_n+yn+0.1

    4)x4)x4)x{n+1}=xn=x_n=xn-0.1
    f(xf(xf(x
    {n+1})=f(xn)=f(x_n)=f(xn-0.1)≈f(xnf(x_nf(xn)-0.1(1+f(xn1(1+f(x_n1(1+f(xn)²)
    yyy_{n+1}=yn=y_n=yn-0.1-0.1yn1y_n1yn²=-0.1yn1y_n1yn²+yn+y_n+yn-0.1

    je n'ai pas réussi à faire la première partie et les autres questions de la deuxième partie car je n'ai pas EXEL .

    merci d'avance


  • M

    Bonjour,
    Suite à ma réponse :
    I)2) C'est Vn = Un -x où x est solution de ax+b = x ?

    Pour la suite, si tu n'as pas Exel, utilise une calculatrice.


  • M

    Vn=Un-a ou a est solution de ax+b=x

    merci


  • M

    Mais dans ce cas on ne sait pas ce qu'est x, alors que a est donné.
    Si on veut que Vn ( associée à Un ) soit une suite géométrique, on cherche x tel que ax + b = x : on trouve x =- b/(a-1).
    En posant alors Vn = Un - x = Un + b/(a-1), on trouve pour Vn une suite géométrique : Vn+1 = aVn
    Vérifie les calculs


  • M

    peut-etre qu'il y a une erreur dans l'énoncer!!
    je demanderai demain au prof!
    merciii


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