exercice concernant les PPCM et PGCD


  • C

    Bonjour, je suis élève en spé maths et nous avons un devoir à réaliser. Il n'est pas obligatoire mais je n'y comprends pas grand-chose et j'aimerais que certains points obscurs soient éclaircis car nous avons un devoir sur table lundi.
    Voici le sujet:
    A.Dans cette partie, on étudie le cas où a et b sont premiers entre eux.
    1)a)On considère la suite des multiples de a : a,2a, 3a,...(b-1)a et on divise chacun par b.
    a) Prouvez qu'aucun des restes n'est nul et que les (b-1)restes sont tous distincts.
    b)Prouvez qu'un seul de ces restes est égale à 1.
    c)Déduisez-en qu'il existe un seul entier naturel x avec 0<x<b tel que ax-1=by
    d)Déduisez-en que 0<y
    Merci d'avance !


  • M

    Bonjour,
    a et b sont-ils supposés supérieurs à 1 ?
    Si b = 1, la suite n'existe pas.
    Si a = 1, le résultat est évident.


  • J

    Bonjour courgette

    1. On prend un entier n tel que n appartient à {1, ..., b-1} , et il faut montrer que b ne divise pas na.

    Pour cela , je te propose de raisonner par l'absurde : on suppose que b divise na, comme b et a sont premier entre eux, d'après le théorème de Gauss, on a b divise n ce qui est faux car n appartient à {1, ..., b-1} .

    conclusion : b ne divise pas na, donc les restes de division de a, 2a, 3a, ..., (b-1)a sont non nuls.

    Pour montrer que les restes sont tous distincts, on prend deux entiers n et k, 0<n<k<b et on montrera que les restes de divisions de na et ka
    par b sont différentes.

    On pourra aussi raisonner par l'absurde si tu veux essayer....
    On suppose que na et ka ont le même reste de division par b, ......

    Bon courage, a+


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