Démonstration congruence Maths Spé

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	Démonstration congruence Maths Spé

emtec	Envoyé: 03.11.2009, 14:56
Voie lactée enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 111 Status: hors ligne dernière visite: 05.05.11	Bonjour à tous, Je dois faire la démonstration de a^p ≡ b^p ( mod n). Je pensais faire une démo par récurrence. Pour l'hérédité, je suppose que a^p ≡ b^p et vrai, et par multiplication des congrences avec a ≡ b (mod n), on a bien a^p+1 ≡ b^p+1 ( mod n). Est ce correct ? Quelqu'un a t-il une autre idée pour démontrer cette propiété ? Merci d'avance. modifié par : Thierry, 03 Nov 2009 - 19:53


mathtous	Envoyé: 03.11.2009, 15:00
Cosmos enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 7091 Status: hors ligne dernière visite: 21.05.12	Bonjour, Oui : a^p -b^p est divisible par a-b Donc si a ≡ b modulo n, a-b ≡ 0 Donc a^p -b^p ≡ 0 Donc a^p ≡ b^p Mathtous http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant : Mathématiques à bâtons rompus Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.

emtec	Envoyé: 03.11.2009, 15:08
Voie lactée enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 111 Status: hors ligne dernière visite: 05.05.11	Merci beaucoup ! Mon prof nous faisait passer par n divise a-b par exemple pour démontrer d'autres propriétés come a-a' ≡ b-b'. Connais tu cette démonstration ? Merci encore

mathtous	Envoyé: 03.11.2009, 15:10
Cosmos enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 7091 Status: hors ligne dernière visite: 21.05.12	Ca dépend des conditions sur a,b,a',b'. Donne un énoncé complet. Mathtous http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant : Mathématiques à bâtons rompus Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.

emtec	Envoyé: 03.11.2009, 15:20
Voie lactée enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 111 Status: hors ligne dernière visite: 05.05.11	HYP : a, b,a', b' ∈^4 * On a a ≡ b ( mod n) et a' ≡ b' (mod n) Donc n \| a-b et n \| a' -b' Donc n \| (a-b) + (a' - b') Donc n \| (a+a') - (b+b') et on a bien a+a' ≡ b+b' ( mod n). Dans la démonstration que je dois faire, a et b sont des entiers relatifs non nuls. On sait que a ≡ b (mod n) et on doit démontrer que a^p ≡ b^p ( mod n).

mathtous	Envoyé: 03.11.2009, 15:24
Cosmos enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 7091 Status: hors ligne dernière visite: 21.05.12	Citation On a a ≡ b ( mod n) et a' ≡ b' (mod n) Donc n \| a-b et n \| a' -b' Donc n \| (a-b) + (a' - b') Donc n \| (a+a') - (b+b') et on a bien a+a' ≡ b+b' ( mod n). Correct. Les autres démonstrations possibles sont en fait simplement des présentations différentes. Citation Dans la démonstration que je dois faire, a et b sont des entiers relatifs non nuls. On sait que a ≡ b (mod n) et on doit démontrer que a^p ≡ b^p ( mod n). On l'a vu plus haut ? C'est fait. Il n'est pas obligatoire de poser a et b non nuls. Mathtous http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant : Mathématiques à bâtons rompus Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.

emtec	Envoyé: 03.11.2009, 15:36
Voie lactée enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 111 Status: hors ligne dernière visite: 05.05.11	Tu veux dire que je peux écrire a ≡ b (mod n) donc n \| a-b on a n\| a^p - b^p et on a donc bien a^p ≡ b^p ?

mathtous	Envoyé: 03.11.2009, 15:39
Cosmos enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 7091 Status: hors ligne dernière visite: 21.05.12	Après n \|a-b, il faut préciser que a-b \| a^p - b^p A condition évidemment de savoir à priori que a-b \| a^p - b^p Mathtous http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant : Mathématiques à bâtons rompus Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.

emtec	Envoyé: 03.11.2009, 15:40
Voie lactée enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 111 Status: hors ligne dernière visite: 05.05.11	Et comment on le sait ?

mathtous	Envoyé: 03.11.2009, 15:44
Cosmos enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 7091 Status: hors ligne dernière visite: 21.05.12	Identités remarquables ... a² - b² = (a-b)(a+b) a³ - b³ = (a-b)(a²+ab+b²) etc Si tu ne les a pas vues, tu ne peux pas utiliser cette démonstration. Mathtous http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant : Mathématiques à bâtons rompus Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.

emtec	Envoyé: 03.11.2009, 15:50
Voie lactée enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 111 Status: hors ligne dernière visite: 05.05.11	si si, je les ai vu. donc, dans ma présentation je peux dire que je sais que a² - b² = (a-b)(a+b), donc (a-b) \| a^p - b^p On a alors n \| a-b et a-b \| a^p - b^p Donc n\| a^p - b^p C'est ça ? modifié par : emtec, 03 Nov 2009 - 15:50

mathtous	Envoyé: 03.11.2009, 15:55
Cosmos enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 7091 Status: hors ligne dernière visite: 21.05.12	Tu les a toutes vues ou seulement a² - b² ? Citation je sais que a² - b² = (a-b)(a+b), donc (a-b) \| a^p - b^p Parce qu'ici tu mélanges les exposants 2 et p. Ca ne va pas. Mathtous http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant : Mathématiques à bâtons rompus Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.

emtec	Envoyé: 03.11.2009, 15:57
Voie lactée enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 111 Status: hors ligne dernière visite: 05.05.11	j'ai vu les ² et les ³. Oui j'ai remarqué après, désolé. Alors comment faire dans ma présentation ?

mathtous	Envoyé: 03.11.2009, 16:02
Cosmos enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 7091 Status: hors ligne dernière visite: 21.05.12	Si tu n'as pas vu les autres, il n'y a que ta démonstration par récurrence ( celle que tu donnes au début ). Mathtous http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant : Mathématiques à bâtons rompus Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.

emtec	Envoyé: 03.11.2009, 16:10
Voie lactée enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 111 Status: hors ligne dernière visite: 05.05.11	Bon d'accord, merci beaucoup mathtous !

mathtous	Envoyé: 03.11.2009, 16:11
Cosmos enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 7091 Status: hors ligne dernière visite: 21.05.12	De rien. Mathtous http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant : Mathématiques à bâtons rompus Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.