Devoir Maison: Continuité


  • C

    Bonjour à tous,

    Je demande de l'aide car j'ai un exercice que je ne comprends pas, mais particulièrement la question 1 et 2

    Un Cas Non polynomial

    On souhaite dénombrer et localiser le mieux possible les solutions sur [1; +∞\infty[ de l'équation (E😞 x² = 1/x+1. On considère ainsi la fonction f définie sur [1; +∞\infty[ par f(x)= x²-1/x.

    1. Vérifier que résoudre (E) revient à résoudre l'équation f(x)= λ, pour un réel λ que l'on déterminera.

    2)Calculer f'(x). Quel est son signe?

    1. Calculer f(1) et f(2)

    4)Dénombrer et situer les solutions de l'équation f(x)=1 (on pourra dresser le tableau de variation de f).

    5)Déterminer un encadrement à 0.01 près de l'unique solution α de (E) sur [1; +∞\infty[.

    Donc :

    1. Je ne vois pas comment répondre . Pour trouver λ dans mon cours il faut faire un tableau de variation avec les limites, mais je ne pense pas que c'est ça.

    2. f'(x)= 2x³+1/x²
      Je trouve que f(x) est strictement positif. Mais je sais pas comment faire pour trouver les valeurs annulatrices ou interdites.

    Pour les questions 3 et 4, je serai me débrouiller toute seule! Mais la 5, je ne suis pas sûre que la question veuille dire qu'il faut trouver la racine de 1. Si c'est cela, est-ce qu'on peut s'aider de la calculatrice?

    Aidez moi s'il vous plait!
    Merci D'avance


  • M

    Bonjour,
    C'est bien x² = (1/x) + 1 et pas x² = 1/(x+1) ?
    Dans le premier cas : x² = 1/x + 1 <=> x² - 1/x = 1 Tu ne vois pas λ ?


  • C

    C'est bien le premier cas.
    Si je comprends bien λ=1 ????


  • M

    Oui.
    Tu sais faire la 3 et la 4 ?
    Pour la 5 , ton tableau indique qu'ily a une seule racine comprise entre 1 et 2.
    Tu peux t'aider de la calculatrice pour calculer d'autres valeurs de f afin de resserrer l'intervalle où se situe a.


  • C

    Dans la question 1, Je dois répondre que : (E): x²=1/x +1 ⇔x²- 1/x= 1
    On remarque que E(x)= f(x) ???? N'est- ce pas??

    Les questions 3 et 4, je sais faire! Pour la 4, je reprends le tableau de signe pour avoir les variations!


  • M

    Non :

    1. E est une équation : il n'y a pas de "E(x)".
    2. f(x) = x² - 1/x

    Tu as calculé f(1) et f(2)
    Quelles réponses obtiens-tu ?


  • C

    Mais je ne vois pas comment je dois rédiger ma réponse pour la 1)?

    1. f(1)=0 et f(2)= 7/2

  • M

    Pour la 1 : x² = 1/x + 1 <=> x² - 1/x = 1
    et puisque f(x) = x² - 1/x,
    E <=> f(x) = 1.
    On peut donc écrire ( si on veut ) f(x) = λ avec λ = 1

    Pour la 5 :
    Tu as f(1) = 0 < 1 et f(2) = 7/2 >1
    Or, f est continue sur [1 ; +∞[ , donc il existe a
    entre 1 et 2tel que f(a) = 1
    Donc la racine a que l'on cherche est comprise entre 1 et 2 .
    Mais on souhaite un encadrement plus précis.
    C'est pourquoi je t'ai proposé de calculer d'autres valeurs de f, pour des valeurs de x comprises évidemment entre 1 et 2.
    Par exemple, calcule f(1,5).


  • C

    Merci pour la question 1

    La question 5 j'ai répondu avec la calculatrice f(1)≈1,35

    Mais pour la question 2 pouvez vous m'aider??


  • I

    Bonjour,

    f(x)= x² - 1/x

    Quelle est la dérivée des fonctions de réf :

    x → x²

    x → 1/x

    donc quelle est la dérivée f ?

    PS : Ne pas oublier d'introduire que la fonction est dérivable sur l'intervalle en question.


  • C

    f'(x²) = 2x
    f' (1/x)= -1/x²

    Mais le problème est que l'on ne peut pas faire un tableau de signe avec une somme? Alors comment faire?


  • I

    Oui, c'est correct.

    Mais tu n'as pas calculé f'(x) = ?


  • I

    f(x)= x²
    -1/x

    donc

    f'(x) = 2x - (-1/x²) = 2x +1/x²

    C'est une somme effectivement. Mais puisque l'ensemble de définition de f est [1 ; +∞[ , tu devrais t'en tirer ...

    bonne soirée


  • M

    Citation
    La question 5 j'ai répondu avec la calculatrice f(1)≈1,35
    Non : reprends ton calcul ( ici sans calculatrice ! )


  • C

    Iron
    f(x)= x²
    -1/x

    donc

    f'(x) = 2x - (-1/x²) = 2x +1/x²

    C'est une somme effectivement. Mais puisque l'ensemble de définition de f est [1 ; +∞[ , tu devrais t'en tirer ...

    bonne soirée

    Mais on peut pas faire un tableau de signe avec une somme.
    Donc, j'ai tout mis sur le même dénominateur et je trouve 2x³+1/x²
    Mais je ne sais pas résoudre 2x³+1 pour avoir mes valeurs annulatrices. Comment je fais??

    Pour la question 5 , j'ai utilisé la calculatrice pour avoir la racine de 1 et j'ai trouvé environ 1,35.


  • M

    Pour f '(x) : c'est une somme de nombres ... ?

    Pour la question 5 : f(x) = x² - 1/x
    Donc f(1) = 1² - 1/1 = ...


  • C

    Mais on ne cherche pas f(1) c'est dans la question 3 et j'ai trouvé 0, mais plutôt f(x)=1!

    Oui, je comprends que f'(x) est une somme, mais pour faire un tableau de signe il faut avoir un produit, n'est ce pas???


  • M

    Citation
    La question 5 j'ai répondu avec la calculatrice f(1)≈1,35Désolé, mais ici je vois écrit f(1) : attention aux confusions.

    Pour le signe de f '(x), tu n'as pas répondu à ma question : f '(x) est une somme de deux nombres ; mais dans l'intervalle considéré, comment sont ces deux nombres ?

    Quant à la question 5, on te demande a à un centième près ( encadrement ) : 1,35 est trop imprécis.


  • C

    Désolé pour mon erreur!

    Dans l'intervalle les deux nombres sont positifs!?

    Mais dans mes anciens exercices de cours qui ressemble à la question 5, nous faisons comme cela, mais nous précisons avant l'encadrement!


  • M

    f '(x) est une somme de deux nombres positifs ( dans l'intervalle utilisé ) , donc f '(x) est positive, donc f est croissante.
    f(1) = 0 et f(2) = 7/2 .
    Donc a est compris entre 1 et 2. Mais ce n'est pas la précision demandée.
    Tu as calculé f(1,35) ? donne ta réponse .


  • C

    Pour trouver la racine de f(x)=1 , j'ai utilisé Graph sur ma calculatrice mais les valeurs étaient très approximatives. J'ai trouvé f(1,35)≈1,07 (c'est la valeur la plus proche)


  • M

    Je trouve f(1,35) plus proche de 1,08
    Mais pour obtenir ton encadrement, tu dois donner
    deuxvaleurs.
    Calcule f(1,32) avec la calculatrice :
    f(1,32) = (1,32)² - 1/1,32 ≈ ...
    Puis calcule f(1,33)


  • C

    f(1,32)≈0,98 et f(1,33)≈1,01. Donc je donne comme réponse cet encadrement, c'est cela?


  • M

    Précise :
    f est continue est croissante sur [1 ; +∞[,
    f(1,32) ≈0.98 <1
    f(1.33) ≈1.01 >1
    Donc f(x) = 1 admet une racine unique a dans l'intervalle , et a est compris entre 1.32 et 1.33 : 1.32 < a < 1.33


  • C

    Merci beaucoup pour votre aide!!!


  • M

    De rien
    A+


Se connecter pour répondre