Etude d'une fonction à l'aide de la dérivation

Bonjour, je suis complètement bloquée devant un exercice que mon professeur m'a donné.

C'est pourquoi je poste un message.
Si vous pourriez m'aider je serai ravie ...
De la plus petite à la plus grande aide je serai ravie.

Voila l'énoncé :

Soit f une fonction définie et dérivable deux fois sur $mathbb{R}$ tel que pour tout réel x, f"(x) ≥ 0. On notera C sa courbe représentative dans un repère et x0 un reél.

1) Justifier que la fonction f' est croissante . C'est fait

2) Trouver une équation de la tangente a C au point x=x0 c'est fait

3) Soit φ = f(x) - f'(x0)(x-x0) - f'( x0) définie sur $mathbb{R}$
Montrer que la fonction a un minimum en x0 qui vaut 0 ....

Je sèche totalement ici ... J'ai trouvé que f(x0)=0 mais après je ne sais pas .

4) En déduire le signe de φ . c'est bon

5) que peut on en déduire pour C ?

6) déterminer sous quelle condition une fonction polynomiale du second degré vérifie la propriété graphique d'avant ?

Pour les 2 dernières questions je sèche aussi ...

Svp aidez moi
Merci

Bonjour,

Question 3
Vérifie l'écriture de φ et calcule φ(x0)

On obtient : φ(x0)=0 [puisque tout se simplifie]
comment démontrer que c'est le minimum ?

Pour un minimum, il faut calculer la dérivée et étudier son signe.

Comment dois-je procéder alors ?
Calculer la dérivée de φ(x) = f(x) - f'(x0)(x-x0) - f'( x0)

oui calcule φ'(x)

je ne peux pas avec si peu d'information non ?

Sinon j'obtiens quelque chose dont je ne suis pas très sure:

Pour tout reel x,
φ'(x)= f'(x) - f"(x0)(x-x0)-f"(x0)

C'est faux dérivée du produit f'(x0)(x-x0)
f'(x0) est une constante donc f"(x0) = .....

La dérivée de f'(x0)(x-x0) est donc 1 ? ou bien 0 ?

La dérivée de f'(x0)(x-x0) est f'(x0) car la dérivée de ax + b est a.

Oui je suis d'accord ... Mais on ne connait pas "a" dans l'expression précédente ... A moins que ce soit f"(x0)

a c'est f'(x0)

donc la derive de a est f " (x0) ?

non
a est le nombre affecté à x.

Oui on obtient donc :

φ'(x)= f'(x) - f"(x0)(x-x0)-f"(x0) ?? Sinon je vois pas du tout ...

La variable est x et non x0. f(x0) est une constante.

donc ça donne quoi ? je vois pas ... Je suis perdu là ...

φ'(x)= f'(x) - f'(x0)

hhaaa oui ! Je viens de le trouver ...
Et comment prouver que c'est un minimum ?

Etudie les variations de la fonction.

D'accord je viens de le trouver
Je suis trop contente !

Il me reste : 5) que peut on en déduire pour C ?

déterminer sous quelle condition une fonction polynomiale du second degré vérifie la propriété graphique d'avant ?

Question 5) Quelle est l'allure de la courbe ? variation de f ?
question 6) Quelle est la forme d'une fonction polynomiale ? condition sur les coefficients ?

Je me suis tromper dans les variaations a la 3. Comment faire?

Que veux tu dire par "je ne suis trompé à la 3) ?

Indique ta réponse.

Je narrive pas a determiner les variations .. Je croyais que les variations etaient donnees avant .. Mais non .. Je trouve pas ..

Je sais que la variation est donnee par f'(x) apres je sais pas ..

Tu utilises le fait que f' est croissante, tu en déduis que φ est croissante, comme φ passe par un minimum, alors ......

Cest plutot "et comme admet un minimum " .. Donc ? F'(x) sannule en x0 ?

J'ai oublié un '
Tu utilises le fait que f' est croissante, tu en déduis que φ' est croissante, comme φ passe par un minimum, alors ......

alors quoi ? :S
f' change de signe en x0 ?

Alors la fonction est décroissante puis croissante.

la fonction Q ?

la fonction Q ?

C'est la fonction φ (question 3)

D'accord mais cette fonction est croissante sur lintervalle [ X0 ; +inf [ et decroissante sur ] -inf ; x0 ] .
Question 5, je vois quelle est la consequence de cette fonction sur la courbe C ..

Pour la question 5, c'est le passage des variations de la fonction φ aux variations de la fonction f.

en quoi ont elles un lien ?

Comme : φ = f(x) - f'(x0)(x-x0) - f( x0)
φ = f(x) - y ( y étant l'équation de la tangente)

Le signe nous donne la position de C par rapport a la tangente ?

Oui,

En fait il faut dire que φ est positif donc C est au dessus de l'axe des abscisses avec un minimum en x0.