Dm : Entiers naturels et carrés parfaits, puissances et racine carrée de 2

Exercice 1 :

Soit n un entier naturel et N le nombre défini par :
N = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1

Calculer N pour n=1 et vérifier qu'alors N est un carré parfait, c'est-à-dire que N est le carré d'un nombre entier.
L'entier n étant de nouveau quelqueconque, on pose x = n(n+3)

(a) Vérifier que (n+1)(n+2) =n(n+3)+2

(b) Utiliser la réponse à la question précédente pour exprimer N en fonction de x seulement.

(c) Déduire de la réponse précédente que, quel que soit n, N est un carré parfait.

Application numérique : de quel nombre la somme 10x11x12x13+1 est-elle le carré ?

Exercice 2

Montrer que pour tout entier relatif n:8(exposant n+1) + 8(exposant n) = 8(exposant n) x 9
En remarquant que 8 = 2³, écrire 8(exposant n+1) + 8 (exosant N), à l'aide de puissance de 2 et de 3 seulement.

Exercice 3

On veut montrer que √2 n'est pas un nombre rationnel. Supposons que √2 soit un nombre rationnel, c'est-à-dire qu'il existe deux entiers naturels non nuls a et b tels que : √2 = a/b, la fraction a/b étant irréductible. On a alors en élevant au carré,
2 = a²/b² soit a² = 2b²

Montrer que le carré d'un nombre impair est un nombre impair.
Montrer que a² est pair et en déduire, en utilisant la question 1, que a est pair.
Le nombre a étant pair, on pose a=2c (c entier non nul). Montrer que b est pair.
Conclure.

Mes propres réflexions.

Exercice 1.

Je trouve N = 25, donc 5².
Je n'arrive pas à trouver le bon résultat, donc la suite est impossible à réaliser pour moi.
Je trouve 17161, donc 131² mais faut-il justifier ? car je trouve ce résultat grâce à la calculatrice.

Exercice 2.

Faut-il le démontrer à travers des exemples ? Et combien ?

Même à travers n = 2, je trouve : 8³ + 8² = 8² x 9 et le résultat ne marche pas ... Comment faire ?

Je ne comprends pas

Exercice 3.

Exemple : 7² = 49 ou 5² = 25

Incompréhension pour le reste ....

Besoin d'aide en urgence !!

Merci

Bonjour et bienvenue sur ce forum,

Si tu avais lu le message écrit en rouge dans la page d'accueil : Poster son 1er message ici , tu saurais qu'un fil de discussion ne doit contenir qu'un énoncé.

Alors je verrouille celui-ci , le temps nécessaire à faire des copier-coller dans 3 nouvelles discussions !