Spé - Récurrence

Bonjour
J'ai trois questions auxquelles je ne sais pas répondre dans un de mes DM de spé, que voici:

Pour tout n qui appartient à N*, Sn= ∑ (n p=1) p3 (le n est au dessous et p=1 en dessous du ∑)
Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout n > 0 Sn=(1+2+3+...+n)²
On pose a=3n+5 et b=5n+8, n appartient à N.
Trouver deux coeff entiers u et v indépendants de n, vérifiant au+bv=1.
a. Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel non nul, 56n+1 + 23n+1 est divisible par 7.
b. Justifier que pour tout n qui appartient à N*, 56n+1 + 23n+1 n'est pas toujours divisible par 5.

Pour les deux premières, je n'arrive pas à démarrer du tout, pour la troisième en revanche j'ai ce début mais je suis bloquée :

On démontre par récurrence que pour tout entier naturel non nul, $5$ ^{6n+1} $2^{3n+1}$ est divisible par 7.

Initialisation:
pour n=1, $5$ ^{6n+1} $2^{3n+1}$ =78141
78141 est divisible par 7 = 11163
La formule est vérifiée pour la petite valeur de n.

Caractère héréditaire:
On suppose que: $5$ ^{6n+1} $2^{3n+1}$ est divisible par 7.
On démontre que: $5$ ^{6(n+1)+1} $2^{3(n+1)+1}$ est divisible par 7.
$5$ ^{6(n+1)+1} $2^{3(n+1)+1}$ = $5$ ^{6n+7} $2^{3n+4}$
$= 5$ ^{6n+1} $* 5$ ^6 $2^{3n+1}$ *2³

Merci d'avance à ceux qui pourront m'aider, c'est pour demain ...

Bonjour,
Pour le 1 : tu pourras utiliser, dans ta récurrence, le fait que
1+2+3+...+n = ??

Pour le 2 : élimine n entre a et b

Pour le 3 : revois l'énoncé : il me semble bizarre : ce sont des puissances ?!
Utilise ensuite las congruences modulo 7 pour continuer ta récurrence.

c'est une réponse de spé. Je ne comprends.

Merci

Calcule la somme 1 + 2 + 3 + ... + n : c'est une suite arithmétique

ok
1+2+...+n est une suite arithmétique.
Donc on obtient (n(n+1))/2. Comme c'est au carré.
On a (1+2+3+...+n)^2 = ((n(n+1))/2)^2.

Mais pour le 1^3+2^3+3^3+...n^3??????,

Merci

Amorce la récurrence : l'égalité est-elle vraie pour n = 1 ?
Ensuite, suppose-la vraie jusqu'au rang n.
Pour passer au rang n+1, calcule [(1 + 2 + 3 + ... + n) +(n+1)]² en séparant comme ci-dessus en deux termes pour pouvoir appliquer le résultat de ton précédent message.

Que veut dire "en séparant comme ci-dessus en deux termes pour pouvoir appliquer le résultat de ton précédent message"?

Pour le reste OK.

Merci

a = (1 + 2 + ... + n)
b = (n+1)
Tu sais calculer [a+b]²

D'accord et ce calcul va nous amener les les termes à la puissance 3?

Merci pour tout

Pas ce calcul lui-même, mais l'hypothèse de récurrence.
H.R : (1 +2+...n)² = $1+2^3$ +... $n^3$
[(1 + 2 + 3 + ... + n) +(n+1)]² = (1 +2+...n)² + (n+1)² + 2*(1 +2+...n)(n+1)
Donc (1+2+...+(n+1))² =
(1 +2+...n)²+ (n+1)² + 2(
1 +2+...n)*(n+1)
Remplace l'expression rouge en utilisant H.R., et l'expression bleue en utilisant ta somme trouvée à ton message 5.
Tu n'auras plus qu'à achever le calcul.

Super,
merci pour tout.

Je vais réessayer de le faire et comprendre le principe de la récurrence.

Bon dimanche.

A+