Limites de fonction (2)

Bonjour !

J'ai une fonction

f(x)=(ax²+bx+x-1)/(x-1)

On suppose que x>1. Je dois étudier la limite de f quand x tend vers +∞
Puis quand x tend vers 1,* en discutant suivant les valeurs de a et b.* (qui n'est pas noté pour la premiere partie de la question)

Donc je ne comprends pas si je ne discute pas suivant les valeurs de a et b, je n'aurais pas les même limites !

Sinon la je commence :

lim ax³+bx².x-1 = lim ax³ quand x tend vers +∞ soit -∞
x→+∞
a<0

Si a>0 ca tend vers +∞

Après bah j'ai pas pu faire... encore

Cette fois x<1. je dois etudier lalimite de f quand x tend vers -∞
puis lorsque x tend vers 1.

Donc je dois de toute manière faire les limites en discutant suivant les valeurs de a et b ?

Bah alors personne peut m'aider ? Dsl pr le multi poste mais bon...

Bonjour,

Indétermination du genre "∞/∞" , pour la lever :

mettre au numérateur et au dénominateur le terme de plus haut degré , simplifier , regarder ce que cela donne

ou

utiliser le théorème qui dit : une fraction rationnelle , se comporte à l(infii comme le quotient des termes de plus haut degré !

en 1 , pas de souci sauf quand 1 est racine du numérateur !

Donc en simplifiant :

jai

lim f(x) = lim ax = +infini
x->+infini

Si a<0
lim f(x) = -infini
x->+infini

et si a>0
lim f(x) = +infini
x->+infini

Et pour le 1, j'ai pas bien compris

RAH j'me suis trompé dans l'ennoncé !!

la fonction f est : (ax³+bx²+x-1)/(x-1)

Désolée !!

Ca change rien pr la premiere limite, sauf que cest la limite de ax².

Pour la limite tend vers 1:

lim f(x) = lim (a+b)/0- = +∞
x->1+
a+b<0

je raisonne bien ?

sauf que moi j'écrirais ,

Dans le cas où a + b négatif, on a : $lim⁡x→1+f(x),=,−∞\lim_{x\rightarrow 1^+} f(x),=,-\infty$

Dans le cas où a + b >0 , on a : $lim⁡x→1+f(x),=,+∞\lim_{x\rightarrow 1^+} f(x),=,+\infty$

Le signe de a+b n'a rien à faire dans l'écriture abrégée de la limite , personne ne t'empêche de préciser avant que tu étudies les 2 cas

Je pense qu'il faut aussi étudier le cas où a+b = 0

D'accord, merci pr l'info lol !

Alors le cas ou a+b=0 :

Bah je factorise :

f(x)=(ax+b+1-1/x)/(1-1/x)

MAis je comprends pas parceque je tombe sur 0/0 quoi qu'il arrive ?

Up :frowning2:

Re-salut,

f(x)= (ax³+bx²+x-1) / (x-1)

On suppose que x>1. On cherche la limite de la fonction au voisinage de 1.

lim ax³+bx²+x-1 = a+b
x→1

lim x-1 = 0+ (et non pas 0- comme tu as note le 13 à 19:50)
x→1
x>1

donc

lim f(x) est de la forme (a+b) / 0+
x→1
x>1

d’où les limites indiquées par Zorro post ci-dessus pour a+b>0 et a+b<0.

Effectivement, si a+b = 0 la limite est finie cette fois

Si a+b = 0 alors b = -a

f(x)= (ax³-ax²+x-1) / (x-1)

On constate que 1 est racine du numérateur, on peut donc le factoriser par (x-1). Il existe alors 3 réels a’, b’ et c’ tels que :

ax³-ax²+x-1 = (x-1) (a’x²+b’x+c’)

Je te laisse résoudre cela (trouver a’ b’ et c’), ça te permettra de simplifier f(x) et d’aboutir (sauf erreur de ma part) à :

Dans ce cas f(x) = ax²+1

D’où

lim f(x) = a+1
x→1
x>1

J’admets que cette partie n’est pas si facile.

Pour le 2) avec x<1, je n’ai pas regardé, c’est prblt la même méthode.

Encore une fois, vérifie en traçant à la calculette les différents cas.

Si ce n'est pas trop tard...

Alors je remet tout :

f(x)= (ax³+bx²+x-1) / (x-1)

On suppose que x>1. On cherche la limite de la fonction au voisinage de 1.

lim ax³+bx²+x-1 = a+b
x→1

lim x-1 = 0+
x→1
x>1

donc

lim f(x) est de la forme (a+b) / 0+
x→1
x>1

d’où :

Si a+b<0
lim f(x) = -∞
x→1
x>1

Si a+b>0
lim f(x) = +∞
x→1
x>1

2)On suppose que x<1. On cherche la limite de la fonction au voisinage de 1

lim x-1 = 0-
x→1
x<1

donc

lim f(x) est de la forme (a+b) / 0-
x→1
x<1

d’où

Si a+b<0

lim f(x) = -∞
x→1
x<1

Si a+b>0

lim f(x) = +∞
x→1
x<1

Effectivement, si a+b = 0 la limite est finie cette fois

Si a+b = 0 alors b = -a

f(x)= (ax³-bx²+x-1) / (x-1)

On constate que 1 est racine du numérateur, on peut donc le factoriser par (x-1). Il existe alors 3 réels a’, b’ et c’ tels que :

ax³-bx²+x-1 = (x-1) (a’x²+b’x+c’)
ax³-bx²+x-1=a’x³+b’x²+c’x-a’x²-b’x-c’
ax³-bx²+x-1=a’x³+x²(b’-a’)+x(c’-b’)-c’

On a donc le système :
a=a'
-b=b'-a'
1=c'-b'
-1=-c'

Donc
c’=1
b’=0
a’=b
a=a’
soit a=b

après je suis perdue ! Pour retrouver :

Dans ce cas f(x) = ax²+1

D’où

lim f(x) = a+1
x→1
x>1

Salut,

Copier-coller + corrections

On suppose que x<1. On cherche la limite de la fonction au voisinage de 1

lim x-1 = 0-
x→1
x<1

donc

lim f(x) est de la forme (a+b) / 0-
x→1
x<1

d’où

Si a+b<0

lim f(x) = +∞ <---- Correction signe ! -/-
x→1
x<1

Si a+b>0

lim f(x) = -∞ <---- Correction signe ! +/-
x→1
x<1

Si a+b = 0 alors b = -a l’expression de f devient :

f(x)= (ax³-ax²+x-1) / (x-1)

1 est racine du numérateur, on peut donc le factoriser par (x-1) et on obtient : f(x) = ax²+1

D’où

lim f(x) = lim (ax²+1) = a+1
x→1
x>1

Alors dans le détail de la dernière partie :

Tu sais que si a+b = 0 l’expression de f devient :

f(x)= (ax³-ax²+x-1) / (x-1)

Donc tu ne résous pas : ax³-bx²+x-1 = (x-1) (a’x²+b’x+c’)

Mais :

ax³-ax²+x-1 = (x-1) (a’x²+b’x+c’) en utilisant b = -a

après dvlpt :

a = a’
-a = b’-a’
1 = c’-b’
-1 = -c’

soit

a’ = a
b’ = 0
c’ = 1

et f(x)= [(x-1)(ax²+0x+1)] / (x-1)

en simplifiant par (x-1) :
f(x) = ax²+1

Ok merci ! J'crois que j'ai tout compris !

Vraiment merci !

MsVixene
... J'crois que j'ai tout compris !

C'est l'important !

Oui merci !