Exercices sur les complexes

Bonsoir,
Me voilà rentrée en prépa!! J'ai besoin de votre aide pour plusieurs exercices indépendants!!

Exercice 1
a) Déterminer les racines secondes des complexes suivants :
a = 3-4i et (x+iy)² = 3-4i.
x²-y²=3
xy=-2

(-2/y)²-y²=3
x=2/y

x²-y²+2xyi= 3-4i
(4-y^4)/y²=3
Mais ensuite je suis coincée

Exercice 1
b) Calculer les racines quatrièmes de -119 + 120i.
Qu'est ce que c'est?
Exercice 2
Démontrer que ∀( que veur dire ce signe) (z,z')∈C²
|z+z'|²+|z-z²| = 2(|z|²+|z'|²)
|z²+2zz'+z'²+z²-2zz'+z'²| = 2(|z²+z'²|) = 2(|z²|+|z²|)

Exercice 3
Résoudre en C les équations:
a) $z^4$ +4=0
b) z²=(√2i)²
c) z²-(√2i)=0
d) z=-√2i ou z=√2i

z²-(5i+1)z-6+7i=0
D=(5i+1)²+4(-6+7i)
D=-10+10i+1-24+28i
D=-33++38i

$z^4$ +z²+1=0
Z=z²
Z²+Z+1=0
D=1-4
D=-3

Z1=(-1-i√3)/2 Z2=Z1=(-1+i√3)/2

Mais après je ne sais pas comment revenir à z !

z³=4√2(1-i)
Je ne sais pas comment faire !

Exercice 4
Calculer
S=cos π/11 +cos 3π/11 +cos 5π/11+ cos 7π/11+ cos 9π/11

Une petite piste??

Exercice 5
x∈ℜ, n∈N, (a,b) ∈R²
Calculer
$S_1$ = ∑$$^n$_{k=0}$ $C$ n $^k$ coskx
et
$S_2$ ∑$$^n${k=0}$ sin(a + kb)

Est ce que vous pouvez m'expliquer comment se lit se signe ? et que veut -il dire? comment se calcule t-il?

Exercice 6
Calculer cos 5a et sin 5a en fonction respectivement de cos a et sin a.

En déduire la valeur de cos π/10

Je ne comprends rien??

Exercice 7
Résoudre dans $z+1)^n$ = $1-z)^n$ (n∈N)
Alors là ça me parais très supect!!

Merci de votre aide

NdZ : quelques (!) corrections formelles...

Salut

ça change de la TS, pas vrai ?

Exercice 2 : résous $z^4$ = -119 + 120i.

le symbole $∀\forall$ signifie pour tout ... ou quelque soit ...

Exercice 4 : ça ressemble à la partie réelle de qqch, non ?

Exercice 5 : la somme de k = 0 à k = n, ça tu connais ?!

la combinaison n k : combien de façons de choisir sans ordre k éléments parmi n, en term tu écrivais ça avec la notation moderne

$(\phantom_k^n)$
ça te revient ?!

Exercice 6: rappelle-toi la formule d'addition cos (u+v) = ...

Exercice 7 : ramène-toi à des racines n-ièmes de l'unité peut-être.

ps : tu as bien commencé par revoir tes cours de la semaine et tes exos corrigés, avant de te lancer dans les exos ?

je ne peux pas entrer plus en détail, j'ai moi aussi pas mal de choses à faire aujourd'hui !

n'oublie pas qu'en prépa aussi, on a le droit de poser des questions au prof, aussi impressionnant qu'il paraisse. vous venez tous du même genre de term, vous avez donc tous plus ou moins les mêmes difficultés : il faut bien se décider à poser des questions, ça aidera le plus grand nombre !

@+

merci, si je vous demande de l'aide c'est pour mieux pouvoir suivre en cours car ça va très vite !!
nous n'avons aucun cours;
Est ce que l'on peut commencer par l'exercice 1 s'il vous plait ?

Bonjour,
Pourf l'exercice 1, utilise la forme trigonométrique de a : le module et l'argument sont simples.
Tu en déduis le module et l'argument des racines carrées.

merci,
je ne comprends pas tout mais je vais essayer:|a|=5
arg(a)=-π/3
comme ca?

|a| = 5 : oui : il se calcule : |a|² = 3² + (-4)²
Mais arg(a) ≠ -π/3
tu connais par contre son cosinus et son sinus.

cos 0 =1
-sin1??

je peux faire x=rcosO et y=rsinO

cosO=x/r
O=3/5
sin O= y/r
O=-4/5

Non.
a = 3 - 4i = ρ cos θ + ρ sin θ que l'on peut aussi écrire ρ $e^{iθ}$
Tu as calculé ρ = 5.
Par identification, tu peux donc en déduire les valeurs de cos θ
et de sin θ

3=ρ cos θ
3/5=cos θ
3/5=cos θ

-4=ρ sin θ
-4/5=sin θ

je n'arrive pas à trouver θ car le dénominateur c'est 5 et je n'arrive pas à le représenter sur le cercle trigo?

Ne cherche pasà calculer θ.
Que peut-on dire du module d'une racine carrée z de a ?
Et que peut-on dire de son argument ?

z²=a
arg(z²)=θ²

je suis désolée c'est tout nouveau, donc je rame un peu !!

Non !
Il faut commencer par revoir le cours sur les complexes.
Que peux-tu dire du module de z ? |z| = ?? ( connaissant le module de a : 5 )
Et pour l'argument, revois les résultats du cours.

|z|=r
r=√(x²+y²)
or |z²|=r²=x²+y²
θ= arg(z)

Tu ne réponds pas à ma question.

Connaissant ρ = |a| ( on l'a calculé : il vaut 5 ) , que vaut r = |z| ?
C'est un résultat de cours.
Connaissant θ = arg(a) , que vaut arg(z) en fonction de θ ?
Il n'est pas égal à θ.
C'est aussi du cours.
C'est pourquoi on n'avancera pas si tu ne revois pas ces résultats de TS.

Appelons φ l'argument de z.
Puisque z² = a, on a : r = ?? ( en fonction de ρ )
et φ = ?? ( en fonction de θ )

j'ai mon cours devant les yeux ^^
|z|=√z. $z^-$
arg(z)=ρ cos θ + ρ sin θ
r=ρ cos φ + ρ sin φ

Mais tu le lis mal ...
Fais attention à la signification des lettres.
Il y a ici
deuxnombres complexes :
a de module ρ et d'argument θ : a = ρ $e^{iθ}$ = ρ cos θ + ρ sin θ
et z de module r et d'argument φ : z = ... complète

Sachant que z² = a, quel lien y a-t-il entre ρ et r ?
et entre θ et φ ?

$z=re^{iφ}$ =r cos φ + r sin φ
(r cos φ + r
isin φ)² = ρ cos θ + ρ
isin θ
r²=ρ
(cos φ +
isin φ)² = cos θ +
isin θ

φ ²=θ

r² = ρ : oui. Cela te permet donc d'obtenir r ( puisque tu connais ρ ).
Mais la dernière ligne est fausse !
Corrige ( et calcule r ).

r=25

2φ =θ

2φ =θ oui.
Mais r ne vaut pas 25 ! tu fais une confusion grave entre carré et racine carrée ( attention : tu es en prépa ... ).
r² = ρ = 5 , donc r = √5.

Tu connais cos θ et sin θ : tu les as calculés plus haut.
Tu sais que 2φ =θ , donc tu vas pouvoir calculer cos φ et sin φ en utilisant la trigo.
Rappelle-toi les formules : cos 2φ = ?? et sin 2φ = ??

3/5=cos θ
-4/5=sin θ

cos 2φ = cos ² φ - sin ²φ
= 2cos²φ -1

sin 2φ =2sinφ .cosφ

Oui
Utilise cos 2φ = 2cos²φ -1 et bien sûr cos 2φ = cos θ = 3/5 pour calculer cos φ
Ensuite tu pourras calculer sin φ.

cosθ= 2cos²φ -1= 3/5

cos²φ =4/5
là je coince

C'est comme r² = 5
Sauf qu'ici, il y a deux solutions : c'est normal car on doit trouver deux racines carrées de a ( deux nombres complexes opposés pour z ).
Choisis l'une de ces valeurs :
cos²φ =4/5 donc cos φ = ?? ( regarde la première ligne )

cos φ = 2/√5=2√5/5

sin 2φ =2sinφ .cosφ =sin θ=-4/5
sin 2φ =2sinφ . (2√5)/5=-4/5
sin 2φ=-1/√5
sin φ=-1/√√5

Citation
2sinφ . (2√5)/5=-4/5
Jusqu'ici, ça va.
Mais ensuite cela dérape : c'est 2 sin φ que tu obtiens :
2 sin φ = -2/√5 et donc sin φ = -1/√5
Et ta dernière ligne est bizarre.

Maintenant, tu sais que $z=re^{iφ}$ = r cos φ + r sin φ
Tu n'as plus qu'à remplacer : tu obtiendras une des deux réponses pour z .
Il ne faudra pas oublier l'autre qui est son opposée.
Tu dois trouver z = 2 - i ( et z' = -2 + i)
Je t'engage vivement à vérifier : (2 - i )² = ??
Trouve-t-on bien a = 3 - 4i ?
Je dois maintenant te laisser .
A+ et bon courage.

a ok j'ai compris, merci

je fais un 2ème pour voir si j'ai bien assimilé:
b=-14+8i
|b|²=(-14)²+8²= 260 -> |b|=2√65
b=-14+8i=p cosθ + p sin θ= $pe^{iθ}$
z²=(-14+8i)²= r cosφ +r sin φ= $re^{iφ}$
p=r²=2√65 donc r= √(2√65))

cosθ=-14/(2√65)=-7/√65
sinθ= 8/(2√65) = 4/√65
(cos φ+ sin φ)²= cosθ+sin θ
2φ=θ
cos2φ= cos θ = -7/√65
cos2φ=cos²φ-1=-7/√65
cos φ=√((-7+√65)/√65)

sin2φ= sin θ = 4/√65
sin2φ= 2sinφ- cosφ =4/√65
2sin φ -√((-7+√65)/√65)=4/√65

je pense que je me suis trompée mais je ne vois pas où

Rebonjour,
Désolé de revenir si tard : c'est un incident sur ma ligne ADSL : plus de téléphone ni d'internet ...
L'exemple que tu choisis est trop compliqué : je n'ai pas eu le courage de regarder en détail, mais il y a bien des racines carrées de racines carrées, ce qui complique.
Essaie plutôt l'exercice suivant : racines quatrièmes de -119 + 120i.
Cherche d'abord une racine carrée comme précédemment, puis une racine carrée du résultat.
Ensuite, il ne faut pas oublier qu'il y a au total 4 racines quatrièmes : comment les obtenir toutes ?

bonsoir,
ce n'est pas grave, en fait on les a corrigés et on a fait avec une autre méthode plus simple!
Merci beaucoup de m'avoir aidé mais j'ai un dm pour mercredi si vous voulez où je ne comprends rien