Tu écris ln(√n)/√n < ln(√(n+1))/√(n+1), d'après A1) Mais on ne sait pas que ln(a)/a < ln(b)/b d'après A1)
On sait juste que si ab < baalors ln(a)/a < ln(b)/b (ou l'inverse, avec ">" pour les deux).
C'est ce qu'on appelle le "même ordre" : si c'est > pour un, c'est > pour l'autre, et inversement.
D'accord pour première et deuxième lignes (ça fonctionne car racine et ln sont des fonctions croissantes sur ).
Par contre, comment passes-tu de
ln√n < ln√(n+1) à ln√n /√n < ln√(n+1) / √(n+1) ?
Je veux dire, quelle est l'opération qui te permet de faire ça ?
Non, pas exactement, la dérivée de ln u(n), c'est
u'(n)*ln(u(n)) avec u(n) = √n par exemple
et u'(n) = 1/(2√n) donc (ln √n)' = (ln √n)/(2√n)
Mais de toute façon... ce n'est pas parce que f < g que f' < g'...
Il est préférable que tu commences comme ça :
ln(√n)/√n - ln(√(n+1))/√(n+1) = ...
et continuer à avancer jusqu'à trouver quelque chose qui est sûrement positif (ou sûrement négatif) à tes yeux ; ensuite, démontrer que ce quelque chose est bien positif (ou négatif) ; puis conclure...
d'accord
je le démontrerai demain car la je pense que je vais écrire des sottises^^
bonne soirée et encore merci d'avoir consacrée votre journée pour mes exercices!!
√(n+1)ln(√n) / √n*√n+1 < √(n)ln(√n+1) / √n*√n+1
√n√n+1/√n*√n+1 < √n+1√n/√n*√n+1
mais après je ne sais pas comment je dois faire pour touver le bon dénominateur?
Je suis d'accord pour le début. N'oublie pas que √n, c'est n1/2. Tu peux alors sortir la puissance des ln.
Attention par contre, je ne veux pas voir de "< 0" : tu ne le sais pas encore, si c'est "< 0" ou ">"
Pour l'instant, je veux juste voir :
ln(√n)/√n - ln(√(n+1))/√(n+1)
= [ln(√n)*√(n+1)- ln(√(n+1)*√n] / √(n+1)√n
= ...
jusqu'à arriver à quelque chose dont tu peux connaître assez facilement le signe (donc les 2 autres lignes, tu n'y es pas).
Ok quand tu arrives dans des cas comme ça :
* dénominateur : positif
* numérateur : on ne sait pas
et que numérateur s'écrit : A - B
Tu peux parfois (souvent) avancer en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué de A - B
Le conjugué de A - B est A + B. Vérifie toutefois que A + B ne s'annule pas pour certaines valeurs de n.
Attention, quand je te parle de A - B, ce n'est que sur le numérateur :
A - B = [ln(n)*√(n+1)- ln(n+1)*√n]
A = ln(n)*√(n+1)
B = ln(n+1)*√n
A² - B² = ...
Ok pour la première ligne mais comment arrives-tu à la deuxième ? J'ai l'impression que tu t'embourbes en essayant de retrouver une identité remarquable style (a-b)² ou (a+b)²...
Tu as juste à détailler A² et B² dans ton expression
Pour rappel : (a*b)n = an * bn
Eh non hélas (- ln²(...) est toujours négatif pour le coup).
Mais j'ai peur aussi que le raisonnement de départ (y compris le miens !) est faux.
"Standby" pour le moment. Je vais regarder ça de plus près demain. Si quelqu'un d'autre a une idée...
Désolé, je t'ai bel et bien fait partir dans des calculs qui ne servaient pas à grand chose mais au moins, ça t'aura fait travailler avec les ln et les racines
Donc pour cette question 2
Comparer pour n ∈ *
avec
Il faut bel et bien comparer avec .
L'ordre est exactement le même, d'après ce qu'on a montré précédemment.
Regarde bien la courbe que tu as tracée. Place un n (par exemple 10) et le (n+1) correspondant sur l'axe des x. Quelles valeurs obtiens-tu en ordonnées pour f(n) ? pour f(n+1) ? Que peux-tu en conclure ?
Oui, exact si on prend n = 10, on a bien f(n) > f(n+1) car f est décroissante sur l'intervalle comprenant n (10) et n + 1 (11).
A partir de quel n, on est sûr que f(n) > f(n+1) ?
Et pour quel(s) n, a-t-on l'inverse : f(n) < f(n+1) ?
Je suis pas tout à fait d'accord pour n ≥ 4.
Si n = 3, tu as n = 3 et n + 1 = 4.
Sur l'intervalle [3; 4], la fonction f est toujours croissante ou déjà décroissante ?
A partir de quand a-t-on le changement de sens ? (c'est le maximum de la fonction f atteint pour x = ... ≈ ...)
Ok, donc si la fonction est décroissante en [3; 4]
3 < 4 donc f(4) > f(3) (c'est "de cette manière" qu'on définit qu'une fonction est décroissante : a < b ⇒ f(a) > f(b) si a et b appartiennent à l'intervalle dans lequel la fonction est décroissante)
Conclusion : si f(4) > f(3), ...
Si n = 1 (on n'a pas le droit au 0), on n + 1 = 2 et donc :
n < n + 1 < e (l'abscisse du maximum, car e ≈ 2.7)
Et à cet endroit là, la fonction f est croissante
Mais si n = 2, on a n + 1 = 3
Sur l'intervalle [2; 3], la fonction est croissante ? décroissante ? ou ??
si f(4)>f(3) donc f est décroissante sur [3;4 ]
sur [2;e] f(2)<f(e): f est croissante sur cet intervalle
sur [e;3] f(e)>f(3) : f est décroissante sur cet intervalle
C'est vrai ce que tu dis là mais "f est décroissante sur [3; 4]" c'est l'hypothèse de laquelle on est parti, non ? Qu'est ce qu'on veut montrer au final ?
f(4) > f(3) donc :
Or sont dans le même ordre que 43 et 34 donc
...
sur [2; e], f est croissante (c'est quelque chose qu'on a déjà montré)
sur [e; 3], f est décroissante (idem, et ce n'est pas parce que f(e) > f(3) )
Et le fait qu'elle ne soit ni croissante, ni décroissante sur l'intervalle [2; 3] ne nous permet pas de conclure dans ce cas. Donc il faut comparer f(2) et f(3) ou bien comparer 23 et 32
En fait on a :
f décroissante sur [e; 3] ⇒ f(e) > f(3) (car e < 3 et décroissante ⇒ changement de sens de l'inégalité)
mais on ne peut pas dire l'inverse :
f(e) > f(3) donc f décroissante sur [e; 3]...
pour montrer l'inverse, il faut montrer que :
pour tous a, b ∈ [e; 3] tels que a < b f(a) > f(b)
c'est-à-dire montrer que ça fonctionne pour toutes les paires de nombres entre e et 3 (si on démontre que ça marche que pour "e et 3", ça ne suffit pas !
Si tu es un peu perdu, on fera un petit récapitulatif parce que ça fait longtemps qu'on est dessus.
D'ailleurs en passant, j'ai oublié quelque chose dans mes formules précédentes. On ne veut pas comparer nn+1 et (n+1)n mais
Donc il faut comparer f(√n) et f(√(n+1)).
Les résultats seront différents mais le principe est le même donc je préfère qu'on regarde ça quand tu auras déjà résolu le problème avec nn+1 et (n+1)n
Pas besoin de parler de 2.8 et 2.9 ce qui nous intéresse, ce sont juste les n qui sont des entiers positifs.
Donc voici le schéma :
- sur [e; +∞[, f est décroissante, donc si e ≤ a < b (a et b réels), f(a) > f(b).
En particulier, pour n entier de l'intervalle [...; +∞[, on a bien :
e ≤ n < n +1
D'où f(n) ... f(n+1) pour n ≥ ...
- sur ]0; e[, f est croissante, donc si 0 < a < b ≤ e (a et b réels), f(a) < f(b).
En particulier pour n entier de l'intervalle [...; ...], on a bien
0 < n < n + 1 ≤ e
D'où f(n) ... f(n+1) pour n ≤ ...
Si n = ... (cas non traité par les 2 premiers cas), on a n < e < n + 1 et on ne peut rien en déduire à partir du sens de variation de f (croissante avant e, décroissante après).
Cependant, on sait que pour ce cas, (n = ..., n+1 = ...), on a :
f(n) = ... ≈ ... et
f(n+1) = ... ≈ ...
D'où f(n) ... f(n+1) pour n = ...
).
